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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:07 Fr 28.04.2006 | | Autor: | havoide |
| Aufgabe | Es gibt drei Arten von Urnen, die mit Kugeln gefüllt sind. Bei zwei davon ist der Anteil der roten Kugeln bekannt und wird mit [mm] q_{\alpha} [/mm] bezeichnet [mm] (\alpha [/mm] =1,2) bei der dritten ist der Anteil nicht bekannt. Man nimmt nun eine Stichprobe (mit Zurücklegen) von N Kugeln, wovon n rot sind.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit [mm] P(U_{\alpha}|n,N) [/mm] für die Proposition [mm] U_{\alpha} [/mm] gefragt: [mm] U_{\alpha}: [/mm] Es handelt sich um die Urne [mm] U_{\alpha} [/mm] |
Als erstes habe ich dann das Bayes'sche Theorem benutzt:
[mm] P(U_{\alpha}|n,N)=\frac{1}{Z}P\left(n|U_{\alpha},N\right)*P\left(U_{\alpha}|N\right)
[/mm]
Hierbei soll Z eben für die korrekte Normierung sorgen. Für [mm] \alpha=1,2 [/mm] ist das auch kein Probelm, da sind beide Wahrscheinlichkeiten bekannt, bei [mm] \alpha=3 [/mm] hingegen ist [mm] P\left(n|U_{3},N\right) [/mm] unbekannt.
Hier hab ich dann zur Marginalisierungsregel gegriffen, und zwar mit [mm] q_{m}, [/mm] also:
[mm] P(n|U_{3},N)=\sum_{m=0}^{N}P(n|q_{m},N)P(q_{m}|N)
[/mm]
mit [mm] q_{m}=\frac{m}{N}, P(q_{m}|N)=\frac{1}{N} [/mm] und [mm] P(n|q_{m},N)=\frac{N!}{n!(N-n)!}q_{m}^{n}\left(1-q_{m}\right)^{N-n}.
[/mm]
Damit erhält man dann [mm] P(n|U_{3},N)=\frac{1}{N}\sum_{m}\frac{N!}{n!(N-n)!}q_{m}^{n}(1-q_{m})^{N-n}
[/mm]
Nun weiß ich leider nicht, was ich mit der letzten Summe genau anfangen soll, bzw. ob mein bisheriger Gedankengang überhaupt richtig war smile
Ich habe zwar noch einige Umformungen gemacht, bin aber die Summe nie wirklich losgeworden, wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 03.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Dieselbe Anfrage wurde vom Autor am 28.04.06, 13:58 auf www.matheboard.de gestellt, und dort beantwortet.
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