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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 27.03.2009 | | Autor: | axi0m |
| Aufgabe | In einer Urne sind r rote und s schwarze Kugeln, r [mm] \ge [/mm] 6, s [mm] \ge [/mm] 6. Ein fairer Würfel wird geworfen. Ist die Augenzahl i gerade, so werden i rote Kugeln durch i schwarze Kugeln ersetzt. Ist die Augenzahl i ungerade, so werden i schwarze Kugeln durch i rote Kugeln ersetzt. Danach wird zufällig eine Kugel aus der Urne entnommen.
a) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel rot ist.
b) Berechnen sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel die Augenzahl i gezeigt hat, wenn eine rote Kugel gezogen wirde. |
Guten Tag zusammen.
Ich lerne gerade für eine Klausur und bin mir bei einigen Aufgaben die ich übe unsicher. Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Auch eine Bestätigung falls meine Lösung korrekt ist wäre sehr wilkommen :).
Mein Ansatz bzw. meine Lösung ist wie folgt:
a)
Sei [mm] \Omega [/mm] ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum.
Weiterhin beschreibe R das Ereignis der Ziehung einer roten Kugel,
R die Ziehung einer schwarzen Kugel,
[mm] W_1,...,W_6 [/mm] entsprechen den Ereignissen, dass die im Index stehende Zahl gewürfelt wurde.
Dann gilt
[mm] P(R|W_j)=\bruch{r-(-1)^j j}{r+s} [/mm] für j [mm] \in [/mm] { 1,..., 6 }
Da [mm] W_1,...,W_6 [/mm] paarweise disjunkt sind gilt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Folglich gilt:
[mm] P(R)&=\sum_{j=1}^{6}P(R|W_j)P(W_j)=\bruch{1}{6}\bruch{r+1+r-2+r+3+r-4+r+5+r-6}{r+s}=\bruch{6r-3}{6(r+s)}
[/mm]
b)
Gesucht ist [mm] P(W_i|R) [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,...,6}. Aus Aufgabenteil a) und dem Bayestheorem ergibt sich:
[mm] P(W_i|R)&=\bruch{P(R|W_i)P(W_i)}{\summe_{j=1}^{6}P(R|W_j)P(W_j)}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{r-(-1)^i i}{r+s}}{\summe_{j=1}^{6} \bruch{r-(-1)^j j}{r+s}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{r-(-1)^i i}{r+s}}{\bruch{6r-3}{r+s}}
[/mm]
[mm] &=\frac{r-(-1)^i i}{6r-3}
[/mm]
Soweit richtig?
Achja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Fr 27.03.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Mein Ansatz bzw. meine Lösung ist wie folgt:
> a)
> Sei [mm]\Omega[/mm] ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum.
> Weiterhin beschreibe R das Ereignis der Ziehung einer roten
> Kugel,
> R die Ziehung einer schwarzen Kugel,
> [mm]W_1,...,W_6[/mm] entsprechen den Ereignissen, dass die im Index
> stehende Zahl gewürfelt wurde.
> Dann gilt
> [mm]P(R|W_j)=\bruch{r-(-1)^j j}{r+s}[/mm] für j [mm]\in[/mm] { 1,..., 6 }
> Da [mm]W_1,...,W_6[/mm] paarweise disjunkt sind gilt der Satz der
> totalen Wahrscheinlichkeit. Folglich gilt:
>
> [mm]P(R)&=\sum_{j=1}^{6}P(R|W_j)P(W_j)=\bruch{1}{6}\bruch{r+1+r-2+r+3+r-4+r+5+r-6}{r+s}=\bruch{6r-3}{6(r+s)}[/mm]
> b)
> Gesucht ist [mm]P(W_i|R)[/mm] für i [mm]\in[/mm] {1,...,6}. Aus Aufgabenteil
> a) und dem Bayestheorem ergibt sich:
>
> [mm]P(W_i|R)&=\bruch{P(R|W_i)P(W_i)}{\summe_{j=1}^{6}P(R|W_j)P(W_j)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{r-(-1)^i i}{r+s}}{\summe_{j=1}^{6} \bruch{r-(-1)^j j}{r+s}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{r-(-1)^i i}{r+s}}{\bruch{6r-3}{r+s}}[/mm]
>
> [mm]&=\frac{r-(-1)^i i}{6r-3}[/mm]
eine absolut vorbildliche Lösung 
LG
Will
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