Urbildpunkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:50 So 17.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Es sei F: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] die durch F(x,y) := [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] , 2xy) definierte Abbildung. Zeige, dass jeder Punkt (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] \ {0} genau zwei Urbildpunkte besitzt. |
[mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = a
2xy = b
Ich denke, hier müssen diverse verschiedene Fälle betrachtet werden. Zuerst habe ich den Fall b = 0 betrachtet:
Für x = 0 folgt, y = [mm] \pm \wurzel{-a} [/mm]
und für y = 0 folgt, x = [mm] \pm \wurzel{a}
[/mm]
Danach habe ich den Fall a = 0 betrachtet:
Daraus folgt, dass [mm] x^2 [/mm] = [mm] y^2.
[/mm]
Für x > 0 folgt, dass y = [mm] \pm [/mm] x
Für x < 0 folgt, dass y = [mm] \pm [/mm] x
oder anders ausgedrückt:
x = [mm] \pm \bruch{b}{2}
[/mm]
Anschliessend muss ich also noch die Fälle b [mm] \not=0 [/mm] und a [mm] \not=0 [/mm] betrachten? Stimmt das?
Beim Fall b [mm] \not=0 [/mm] habe ich aber bereis ein wenig Mühe gekriegt.
Ich habe [mm] x^2 [/mm] = a + [mm] y^2 [/mm] und y = [mm] \bruch{b}{2x} [/mm] zusammengefügt, und danach [mm] x^2 [/mm] = a + [mm] (\bruch{b}{2x})^{2} [/mm] erhalten. Doch ich konnte diese Gleichung danach nicht nach x auflösen...!
Ist mein Weg bis dahin aber prinzipiell richtig?
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> Es sei F: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] die durch F(x,y) := [mm](x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] ,
> 2xy) definierte Abbildung. Zeige, dass jeder Punkt (x,y)
> [mm]\in \IR^2[/mm] \ {0} genau zwei Urbildpunkte besitzt.
> [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] = a
> 2xy = b
>
> Ich denke, hier müssen diverse verschiedene Fälle
> betrachtet werden. Zuerst habe ich den Fall b = 0
> betrachtet:
>
> Für x = 0 folgt, y = [mm]\pm \wurzel{-a}[/mm]
> und für y = 0 folgt, x = [mm]\pm \wurzel{a}[/mm]
Ich denke: dieser Weg wird sehr, sehr mühsam. Denn Du hast z.B. hier noch nicht berücksichtigt, dass $a>0$ oder $a<0$ sein kann usw. usf.
Daher mein Gegenvorschlag: Übergang zu Polarkoordinaten [mm] $x=r\cdot\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=r\cdot \sin(\varphi)$, [/mm] wobei $r>0$ und [mm] $\varphi\in [0;2\pi[$ [/mm] sein muss.
Die beiden Gleichungen reduzieren sich auf [mm] $a=r^2\cdot \cos(2\varphi)$ [/mm] und [mm] $b=r^2\cdot \sin(2\varphi)$.
[/mm]
Wieviele Lösungen $r>0, [mm] \varphi\in [0;2\pi[$ [/mm] hat dieses Gleichungssystem?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 So 17.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
Ah ja, so gehts natürlich schneller. Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 17.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo jonny11,
mit etwas mehr Mathematik kann man die gegebene Abbildung F auch als Abbildung F: [mm] \IC \to \IC [/mm] mit F(z) = [mm] z^{2} [/mm] auffassen [mm] (z^{2} [/mm] = (x + [mm] iy)^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] +i2xy). Die komplexe Wurzel liefert dann sofort die gewünschte Aussage.
Aber dazu muss man halt Funktionentheorie benutzen dürfen.
Gruß
Uli
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