Urbild(er) einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Für f: $ [mm] X\to [/mm] $ Y und $ [mm] M\subset [/mm] $ Y sei definiert: $ [mm] f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \}, [/mm] $ die Menge der Urbilder zu M. Berechnen Sie:
f^-1({0.5, 0}) für $ f(x)=|x-3|*|4-5x|^-1 $ |
Hallo,
Hier ist mein Lösungsvorschlag. Könnte jemand bitte einen Blick drauf werfen und sagen, ob es richtig/falsch ist?
Vorr.:
Für f: $ [mm] X\to [/mm] $ Y und $ [mm] M\subset [/mm] $ Y sei definiert: $ [mm] f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \}, [/mm] $ die Menge der Urbilder zu M
Zu zeigen:
f^-1({0.5, 0}) für $ f(x)=|x-3|*|4-5x|^-1 $
Es gilt:
[mm] f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \}
[/mm]
Für M={0.5, 0}
f^-1({0.5, [mm] 0}):=\{x\in X | f(x) \in {0.5, 0} \}
[/mm]
f(x) [mm] \in [/mm] {0.5, 0} [mm] \gdw [/mm] f(x)=0.5 [mm] \vee [/mm] f(x)=0
Fallunterscheidung:
1. Fall: f(x)=0.5
Dann gilt:
0.5=|x-3|*|4-5x|^-1
[mm] \gdw 0.5=\bruch{|x-3|}{|4-5x|}
[/mm]
1.1 Fall:
[mm] 0.5=\bruch{x-3}{4-5x}
[/mm]
(nach x auflösen....)
x=1.43
1.2 Fall:
[mm] -0.5=\bruch{x-3}{4-5x}
[/mm]
(nach x auflösen....)
x=0.67
2. Fall: f(x)=0
Dann gilt:
0=|x-3|*|4-5x|^-1
[mm] \gdw 0=\bruch{|x-3|}{|4-5x|}
[/mm]
1.1 Fall:
[mm] 0=\bruch{x-3}{4-5x}
[/mm]
(nach x auflösen....)
x=3
1.2 Fall:
[mm] -0=\bruch{x-3}{4-5x}
[/mm]
(nach x auflösen....)
x=3
[mm] \IL= [/mm] {1.43, 0.67, 3}
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> Für f: [mm]X\to[/mm] Y und [mm]M\subset[/mm] Y sei definiert:
> [mm]f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \},[/mm] die Menge der Urbilder
> zu M. Berechnen Sie:
>
> f^-1({0.5, 0}) für [mm]f(x)=|x-3|*|4-5x|^-1[/mm]
>
> Hallo,
>
> Hier ist mein Lösungsvorschlag. Könnte jemand bitte einen
> Blick drauf werfen und sagen, ob es richtig/falsch ist?
>
> Vorr.:
> Für f: [mm]X\to[/mm] Y und [mm]M\subset[/mm] Y sei definiert:
> [mm]f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \},[/mm] die Menge der Urbilder
> zu M
>
> Zu zeigen:
> f^-1({0.5, 0}) für [mm]f(x)=|x-3|*|4-5x|^-1[/mm]
>
> Es gilt:
> [mm]f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Für M={0.5, 0}
> f^-1({0.5, [mm]0}):=\{x\in X | f(x) \in {0.5, 0} \}[/mm]
> f(x) [mm]\in[/mm]
> {0.5, 0} [mm]\gdw[/mm] f(x)=0.5 [mm]\vee[/mm] f(x)=0
>
> Fallunterscheidung:
>
> 1. Fall: f(x)=0.5
> Dann gilt:
> 0.5=|x-3|*|4-5x|^-1
> [mm]\gdw 0.5=\bruch{|x-3|}{|4-5x|}[/mm]
> 1.1 Fall:
> [mm]0.5=\bruch{x-3}{4-5x}[/mm]
> (nach x auflösen....)
> x=1.43
>
> 1.2 Fall:
> [mm]-0.5=\bruch{x-3}{4-5x}[/mm]
> (nach x auflösen....)
> x=0.67
>
> 2. Fall: f(x)=0
> Dann gilt:
> 0=|x-3|*|4-5x|^-1
> [mm]\gdw 0=\bruch{|x-3|}{|4-5x|}[/mm]
> 1.1 Fall:
> [mm]0=\bruch{x-3}{4-5x}[/mm]
> (nach x auflösen....)
> x=3
>
> 1.2 Fall:
> [mm]-0=\bruch{x-3}{4-5x}[/mm]
> (nach x auflösen....)
> x=3
>
>
> [mm]\IL=[/mm] {1.43, 0.67, 3}
Hallo Jack159
1.) Gib doch die Lösungen exakt, d.h. in Bruchform an !!
2.) Es liegt noch ein Vorzeichenfehler vor.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Al-Chw,
Danke für deinen Hinweis, hab den Vorzeichenfehler gefunden.
Hier nochmal die verbesserte Lösungsmenge in Bruchschreibweise:
[mm] \IL= [/mm] { [mm] \bruch{5}{3.5}, -\bruch{1}{1.5}, [/mm] 3 }
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 31.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Al-Chw,
>
> Danke für deinen Hinweis, hab den Vorzeichenfehler
> gefunden.
>
> Hier nochmal die verbesserte Lösungsmenge in
> Bruchschreibweise:
>
> [mm]\IL=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{5}{3.5}, -\bruch{1}{1.5},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3 }
Das sieht gut aus, aber die Ergebnisse sind doch keine Brüche.
\frac{5}{3,5}=\frac{50}{35}=\frac{10}{7}
Und
-\frac{1}{1,5}=-\frac{10}{15}=-\frac{2}{3}
Marius
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