Urbild einer Sigma-Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Sa 29.04.2006 | | Autor: | polldi |
| Aufgabe | Sei f:X->Y eine Abbildung.
z.z.:das Urbild [mm] f^-1(\mathcal{A}) [/mm] einer Sigma-Algebra [mm] \mathcal{A} [/mm] über Y ist eine Sigma-Algebra über X. |
Hallo,
Zur Aufgabe: Ich weiß, dass ich folgende Dinge zeigen muss:
-Omega liegt im Urbild von [mm] \mathcal{A}
[/mm]
-Wenn A im Urbild von [mm] \mathcal{A} [/mm] liegt, folgt, dass das Komplement von A auch im Urb. von [mm] \mathcal{A}liegt
[/mm]
-Wenn [mm] A_{1}, A_{2},... [/mm] in [mm] f^{-1}(\mathcal{A}) [/mm] liegen [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bigcup_{i=1}^{ \infty}A_{i} [/mm] auch in [mm] f^{-1}(\mathcal{A}) [/mm] liegt.
Ich weiß nun aber nicht, wie ich da einen Anfang finde, mir würde, denk ich schon zum 1.Punkt ein Ansatz genügen. Ich verstehe nicht so ganz in wiefern die Sigma-Algebra mit Der Abbildung zusammenhängt.
Bedeutet das, dass alle Elemente von Y in der geg. Sigma-Algebra liegen?
Ich wär euch sehr dankbar für eure Hilfe!
Viele Grüße
Polldi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Polldi!
> Sei f:X->Y eine Abbildung.
> z.z.:das Urbild [mm]f^-1(\mathcal{A})[/mm] einer Sigma-Algebra
> [mm]\mathcal{A}[/mm] über Y ist eine Sigma-Algebra über X.
> Hallo,
>
> Zur Aufgabe: Ich weiß, dass ich folgende Dinge zeigen
> muss:
> -Omega liegt im Urbild von [mm]\mathcal{A}[/mm]
Ist $Omega = X$? Es ist ja $X = [mm] f^{-1}(Y)$, [/mm] da jedes $x [mm] \in [/mm] X$ durch $f$ auf irgendetwas in $Y$ abgebildet wird. Und da $Y [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] ist, folgt $X [mm] \in f^{-1}(\mathcal{A})$.
[/mm]
> -Wenn A im Urbild von [mm]\mathcal{A}[/mm] liegt, folgt, dass das
> Komplement von A auch im Urb. von [mm]\mathcal{A}liegt[/mm]
Hier brauchst du, dass $X [mm] \setminus f^{-1}(A) [/mm] = [mm] f^{-1}(Y \setminus [/mm] A)$ ist fuer beliebige Mengen $A [mm] \subseteq [/mm] Y$.
> -Wenn [mm]A_{1}, A_{2},...[/mm] in [mm]f^{-1}(\mathcal{A})[/mm] liegen
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bigcup_{i=1}^{ \infty}A_{i}[/mm] auch in [mm]f^{-1}(\mathcal{A})[/mm]
> liegt.
Hier brauchst du, dass [mm] $\bigcup_{i\in I} f^{-1}(A_i) [/mm] = [mm] f^{-1}(\bigcup_{i\in I} A_i)$ [/mm] ist fuer beliebige Mengen [mm] $A_i \subseteq [/mm] Y$ und eine beliebige Indexmenge $I$ (evtl. auch ueberabzaehlbar!).
Diese Aussagen fuer allgemeine Mengen kannst du wirklich recht einfach nachrechnen, indem du immer die Definition von Urbild einer Menge benutzt.
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
|
|
|
|
