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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:41 Do 16.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | [mm] $\Omega,\Omega'$ [/mm] nichtleere Mengen mit [mm] $T:\Omega\to\Omgea'$ [/mm] ist Abbildung.
Zeigen oder widerlegen Sie:
Sind [mm] $\mathcal{A}',\mathcal{B}'$ [/mm] beliebige [mm] $\sigma$-Algebran [/mm] in [mm] $\Omega'$, [/mm] so gilt: [mm] $T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')$ [/mm] |
Guten Abend,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe mir bisher folgende Gedanken gemacht:
[mm] $T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}$.
[/mm]
und [mm] $T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{A}\}\cap\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{B}'\}=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')$.
[/mm]
Jedoch glaube ich kaum, dass das stimmt.
Hier geht ja nirgends ein, dass [mm] $\mathcal{A}',\mathcal{B}' \;\sigma$-Algebren [/mm] sind.
Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?
Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\Omega,\Omega'[/mm] nichtleere Mengen mit [mm]T:\Omega\to\Omgea'[/mm] ist
> Abbildung.
>
> Zeigen oder widerlegen Sie:
>
> Sind [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}'[/mm] beliebige [mm]\sigma[/mm]-Algebran in
> [mm]\Omega'[/mm], so gilt:
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')[/mm]
>
> Guten Abend,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe mir bisher
> folgende Gedanken gemacht:
>
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}[/mm].
>
> und [mm]T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{A}\}\cap\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{B}'\}=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')[/mm].
>
> Jedoch glaube ich kaum, dass das stimmt.
> Hier geht ja nirgends ein, dass [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}' \;\sigma[/mm]-Algebren
> sind.
>
> Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?
Dir scheint nicht klar zu sein, was [mm] T^{-1}(\mathcal{C}') [/mm] für eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] \mathcal{C}' [/mm] in [mm] \Omega' [/mm] bedeutet:
[mm] T^{-1}(\mathcal{C}')=\{T^{-1}(C): C \in \mathcal{C}' \} [/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
>
> DerBaum
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:27 Do 16.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
Vielen Dank für deine Antwort!
> > [mm]\Omega,\Omega'[/mm] nichtleere Mengen mit [mm]T:\Omega\to\Omgea'[/mm] ist
> > Abbildung.
> >
> > Zeigen oder widerlegen Sie:
> >
> > Sind [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}'[/mm] beliebige [mm]\sigma[/mm]-Algebran in
> > [mm]\Omega'[/mm], so gilt:
> >
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')[/mm]
>
> >
> > Guten Abend,
> >
> > ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe mir bisher
> > folgende Gedanken gemacht:
> >
> > [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}[/mm].
>
> >
> > und [mm]T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{A}\}\cap\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{B}'\}=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')[/mm].
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> >
> > Jedoch glaube ich kaum, dass das stimmt.
> > Hier geht ja nirgends ein, dass
> [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}' \;\sigma[/mm]-Algebren
> > sind.
> >
> > Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?
>
> Dir scheint nicht klar zu sein, was [mm]T^{-1}(\mathcal{C}')[/mm]
> für eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra [mm]\mathcal{C}'[/mm] in [mm]\Omega'[/mm]
> bedeutet:
>
> [mm]T^{-1}(\mathcal{C}')=\{T^{-1}(C): C \in \mathcal{C}' \}[/mm]
>
> FRED
> >
Das stimmt so natürlich nicht, wie ich es aufgeschrieben habe, ja.
Okay, das war auch ein Denkfehler, das [mm] $\mathcal{A}'$ [/mm] und [mm] $\mathcal{B}'$ [/mm] ja Teilmenge der Potenzmenge von $Omega$ sind!
Dann hätte ich also für:
[mm] $T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{T^{-1}(Y)|\; Y\in\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}'\}=\{\{ x\in\Omega |\; T(x)\in Y\}|\; Y\in\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}'\}=\{\{ x\in\Omega |\; T(x)\in Y\}|\; Y\in\mathcal{A}'\}\cap\{\{ x\in\Omega |\; T(x)\in Y\}|\; Y\in\mathcal{B}'\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap T^{-1}(\matcal{B}')$
[/mm]
Aber dann habe ich die Voraussetzung ja wieder nicht Verwendet :-/
Wo liegt diesmal mein Denkfehler?
Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum
> > Vielen Dank
> > Liebe Grüße
> >
> > DerBaum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 17.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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