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| Aufgabe | Sei f: Q->W eine Abbildung zwischen beliebigen Mengen.
Sei A [mm] \subseteq [/mm] Q
Zeige A [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (f(A))
Gleichheit falls f injektiv |
Hallo zusammen. Wenn es eine inverse gibt, bedeutet dass nicht automatisch, dass f bijektiv ist?
a [mm] \in [/mm] A
<=> [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] W : f(a)=y
darf ich nun [mm] f^{-1} [/mm] auf die gleichung anwenden?
<=> [mm] f^{-1} [/mm] (f(a))= [mm] f^{-1} [/mm] (y)
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Hallo,
betrachte einmal die Funktion f(x)=arctan(x) als 'Umkehrfunktion' der Tangensfunktion. Diese Funktion ist, so lange man sie als Funktion f: [mm] \IR->\IR [/mm] auffasst, injektiv aber nicht surjektiv. Erst wenn man die Bildmenge auf [mm] \left(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] einschränkt, ist sie auch surjektiv und damit bijektiv, ihre Umkehrfunktion ist dann der Tangens auf dem Intervall [mm] \left(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right). [/mm] Um diese Problematik geht es hier, vielleicht hilft dir dieses anschauliche Beispiel ja schon weiter.
Gruß, Diophant
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Hallo,
Danke das hilft mir im Verständnis weiter.
Jedoch bin ich noch immer ratlos wie der beweis funktioniert..
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Hallo,
> Hallo,
> Danke das hilft mir im Verständnis weiter.
> Jedoch bin ich noch immer ratlos wie der beweis
> funktioniert..
Mit dem [mm] $f^{-1}$ [/mm] in der Aufgabenstellung ist nicht die Umkehrfunktion, sondern das Urbild gemeint. Ist $f:Q [mm] \to [/mm] W$ eine Funktion, so für $B [mm] \subset [/mm] W$:
[mm] $f^{-1}(B) [/mm] := [mm] \{x \in Q:f(x) \in B\}$.
[/mm]
Dieser "Operator" kann also auch für nicht bijektive Funktionen definiert werden. Demzufolge funktioniert dein Beweis oben nicht so, weil es ja gar keine Umkehrfunktion gibt.
Sei $A [mm] \subset [/mm] Q$.
Z.z. $A [mm] \subset f^{-1}(f(A))$.
[/mm]
Für den Beweis nimm ein Element aus der linken Menge und zeige, dass es in der rechten ist. Schreibe dazu als erstes [mm] $f^{-1}(f(A))$ [/mm] mit Hilfe der obigen Def. aus.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo,
danke für die Antwort:
[mm] x\in [/mm] A
zZ.: x [mm] \in f^{-1} [/mm] (f(A))= [mm] \{ x \in Q : f(x) \in f(A) \}
[/mm]
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Hallo,
> [mm]x\in[/mm] A
> zZ.: x [mm]\in f^{-1}[/mm] (f(A))= [mm]\{ x \in Q : f(x) \in f(A) \}[/mm]
Genau.
Und im Grunde ist das schon der Beweis.
Wenn $x [mm] \in [/mm] A$, dann ist $f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$ ( denn $f(A) := [mm] \{f(x): x \in A\}$ [/mm] )
Also $x [mm] \in f^{-1}(f(A))$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo nochmal.
f(x) [mm] \in [/mm] f(A) <=> x [mm] \in f^{-1} [/mm] (f(A))
Ist doch eine äquivalenzumformung?
[mm] x\in [/mm] A => f(x) [mm] \in [/mm] f(A)
Geht nur in die eine Richtung denke ich? Aber wenn f injektiv dann ist auch die andere Richtung korrekt?
LG
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Hallo,
> Hallo nochmal.
> f(x) [mm]\in[/mm] f(A) <=> x [mm]\in f^{-1}[/mm] (f(A))
> Ist doch eine äquivalenzumformung?
Ja. Das sieht man direkt, wenn man die rechte Seite ausschreibt (s.o.)
> [mm]x\in[/mm] A => f(x) [mm]\in[/mm] f(A)
> Geht nur in die eine Richtung denke ich? Aber wenn f
> injektiv dann ist auch die andere Richtung korrekt?
Richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Beispiel: $f(x) = [mm] x^2$, [/mm] $A = [mm] \{2\}$, [/mm] $x = -2$
Viele Grüße,
Stefan
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Danke.
Ich hab noch ein ähnliches Bsp.:
Sei B [mm] \subseteq [/mm] W.
Zeige [mm] f(f^{-1} [/mm] (B)) [mm] \subseteq [/mm] B (gleichheit bei surj)
y [mm] \in f(f^{-1} [/mm] (B)) = [mm] f(\{ x \in Q : f(x) \in B \})
[/mm]
<=> [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] Q mit f(x) [mm] \in [/mm] B sodass y= f(x)
Ich grüble da schon eine weile.., wie das am besten funktonieren könnte
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Hallo,
> Ich hab noch ein ähnliches Bsp.:
> Sei B [mm]\subseteq[/mm] W.
> Zeige [mm]f(f^{-1}[/mm] (B)) [mm]\subseteq[/mm] B (gleichheit bei surj)
> y [mm]\in f(f^{-1}[/mm] (B)) = [mm]f(\{ x \in Q : f(x) \in B \})[/mm]
> <=>
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] Q mit f(x) [mm]\in[/mm] B sodass y= f(x)
Es steht doch jetzt schon da!
$y = f(x) [mm] \in [/mm] B$
Also $y [mm] \in [/mm] B$.
----
Für die Rückrichtung beginne mit $y [mm] \in [/mm] B$. Wenn $f$ surjektiv ist, gibt es $x [mm] \in [/mm] Q$ mit $y = f(x)$. Dann ist $x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \subset$ [/mm] ...
und somit $y = f(x) [mm] \in [/mm] ...$
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo
Also lautet es eigentlich richtig:
> y [mm] \in f(f^{-1} [/mm] (B)) = [mm] f(\{ x \in Q : f(x) \in B \}) [/mm]
=>
> [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] Q mit f(x) [mm] \in [/mm] B sodass y= f(x)
> y = f(x) [mm] \in [/mm] B
> Also y [mm] \in [/mm] B .
Sonst wären die ja nur Äquivalenzumformungen.
Aber ist da nicht ein "=" Zeichen in der Definition der menge?? Also wieso gilt nur die eine Richtung , wenn die rechte menge [mm] f(f^{-1} [/mm] (B)) doch so definiert ist, dass beide richtungen gelten?
Rückrichtung:
y [mm] \in [/mm] B . Wenn f surjektiv ist, gibt es x [mm] \in [/mm] Q mit y = f(x) . Dann ist x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \subset f^{-1} \{y \in W: \exists x \in Q mit f(x)=y \} [/mm] = [mm] f^{-1} \{f(x)| mit x \in Q \}
[/mm]
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Hallo theresetom,
> Also lautet es eigentlich richtig:
>
> > y [mm]\in f(f^{-1}[/mm] (B)) = [mm]f(\{ x \in Q : f(x) \in B \})[/mm]
> =>
>
> > [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] Q mit f(x) [mm]\in[/mm] B sodass y= f(x)
> > y = f(x) [mm]\in[/mm] B
> > Also y [mm]\in[/mm] B .
Nein, oben gilt sogar "<=>".
Genau so ist [mm] $f(f^{-1}(B))$ [/mm] definiert.
Der Punkt ist, dass die Umformung DANACH keine Äquivalenzumformung ist:
Es gilt nur
$y =f(x) [mm] \in [/mm] B$ [mm] \Rightarrow [/mm] $y [mm] \in [/mm] B$,
nicht die Rückrichtung. Die gilt nur bei Surjektivität.
> Sonst wären die ja nur Äquivalenzumformungen.
> Aber ist da nicht ein "=" Zeichen in der Definition der
> menge?? Also wieso gilt nur die eine Richtung , wenn die
> rechte menge [mm]f(f^{-1}[/mm] (B)) doch so definiert ist, dass
> beide richtungen gelten?
Ist sie nicht.
Guck dir nochmal das Anfangsbeispiel an. $f(x) = [mm] \arctan(x)$, [/mm] $B = [mm] \IR$. [/mm] Dann ist [mm] $f(f^{-1}(B)) [/mm] = [mm] ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \not= \IR [/mm] = B$.
> Rückrichtung:
> y [mm]\in[/mm] B . Wenn f surjektiv ist, gibt es x [mm]\in[/mm] Q mit y =
> f(x) . Dann ist x [mm]\in f^{-1}(\{y\}) \subset f^{-1} \{y \in W: \exists x \in Q mit f(x)=y \}[/mm]
> = [mm]f^{-1} \{f(x)| mit x \in Q \}[/mm]
Das sieht seht kompliziert aus. Ich wollte sehen:
$x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \subset f^{-1}(B)$.
[/mm]
Also
$f(x) [mm] \in f(f^{-1}(B))$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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