Unzerlegbarkeit Polynom < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie [mm] 3X^{2} [/mm] - 6 auf Unzerlegbarkeit (1) als Element von [mm] \IQ[X] [/mm] und (2) als Element von von [mm] \IZ[X]. [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir sagen, ob man das so schreiben kann und ob es richtig ist. Bin mir da irgendwie unsicher.
zu 1) [mm] 3X^{2} [/mm] - 6 = [mm] 3*(X^{2} [/mm] - 2). 3 ist eine Einheit in [mm] \IQ[X] [/mm] (da alle konstanten Polynome in Polynomringen über Körpern Einheiten sind). Da 3 eine Einheit ist, ist [mm] X^{2} [/mm] - 2 zu [mm] 3X^{2} [/mm] - 6 assoziiert. Also hat [mm] 3X^{2} [/mm] - 6 nur triviale Teiler in [mm] \IQ[X] [/mm] und ist deshalb unzerlegbar.
zu 2) auch in [mm] \IZ[X] [/mm] gilt [mm] 3X^{2} [/mm] - 6 = 3 * [mm] (X^{2} [/mm] - 2). Nun ist 3 in [mm] \IZ[X] [/mm] aber keine Einheit, sondern unzerlegbar, da es ein Primelement ist. Also ist 3 ein echter Teiler von [mm] 3X^{2} [/mm] - 6. Damit ist [mm] X^{2} [/mm] - 2 aber auch ein echter Teiler von [mm] 3X^{2} [/mm] - 6, also ist [mm] 3X^{2} [/mm] - 6 zerlegbar in [mm] \IZ[X].
[/mm]
Vielen Dank und Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Fr 16.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> zu 1) [mm]3X^{2}[/mm] - 6 = [mm]3*(X^{2}[/mm] - 2). 3 ist eine Einheit in
> [mm]\IQ[X][/mm] (da alle konstanten Polynome in Polynomringen über
> Körpern Einheiten sind). Da 3 eine Einheit ist, ist [mm]X^{2}[/mm] -
> 2 zu [mm]3X^{2}[/mm] - 6 assoziiert. Also hat [mm]3X^{2}[/mm] - 6 nur
> triviale Teiler in [mm]\IQ[X][/mm] und ist deshalb unzerlegbar.
hier sollte man noch erwähnen, dass [mm] $X^2 [/mm] - 2$ in [mm] $\mathbb{Q}[X]$ [/mm] unzerlegbar ist (zum beispiel mit eisenstein oder faktorisierung in [mm] $\mathbb{R}$) [/mm]
> zu 2) auch in [mm]\IZ[X][/mm] gilt [mm]3X^{2}[/mm] - 6 = 3 * [mm](X^{2}[/mm] - 2). Nun
> ist 3 in [mm]\IZ[X][/mm] aber keine Einheit, sondern unzerlegbar, da
> es ein Primelement ist. Also ist 3 ein echter Teiler von
> [mm]3X^{2}[/mm] - 6. Damit ist [mm]X^{2}[/mm] - 2 aber auch ein echter Teiler
> von [mm]3X^{2}[/mm] - 6, also ist [mm]3X^{2}[/mm] - 6 zerlegbar in [mm]\IZ[X].[/mm]
ansonsten passt das alles so.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Fr 16.05.2008 | | Autor: | steffenhst |
Danke!
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