Untervektorraum und Kern < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mi 13.04.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Ich soll prüfen, ob die Menge ein Untervektorraum ist.
[mm] U:={\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}} \in \IR^{3} : x_{1}+x_{2}+x_{3}=0} [/mm] |
Ich habe es wie gewohnt nach den drei Kriterien untersucht:
0+0+0=0 => 0 [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge [/mm] U [mm] \not \emptyset [/mm]
[mm] \vec{u}, \vec{v} \in [/mm] U
[mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}} [/mm] + [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{u_{1}+v_{1}\\u_{2}+v_{2}\\u_{3}+v_{3}}
[/mm]
=> Abgeschlossen bezüglich der Addition.
[mm] \alpha \in \IR
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vec{u}=\vektor{\alpha*u_{1}\\\alpha*u_{2}\\\alpha*u_{3}}=\alpha [/mm] * [mm] \vec{u}
[/mm]
=> Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
In der Musterlösung steht aber folgendes:
U: Kern(1,1,1) => Untervektorraum
Ich weiß, dass der Kern einer Matrix die Lösungsmenge des Linearengleichungssystems ist.
Bei welchen Kernen handelt es sich bei einer Menge um einen Untervektorraum?
Habe ein wenig recherchiert, wurde dann aber von so viel Information erschlagen.
Kann das wer erklären, warum es so in der Lösung steht.
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Hallo zoj,
> Ich soll prüfen, ob die Menge ein Untervektorraum ist.
> [mm]U:={\vektor{x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}} \in \IR^{3} : x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}[/mm]
Mache geschweifte Klammern mit einem vorangehenden backslash, also \{ und \}
für [mm]\{[/mm] und [mm]\}[/mm]
>
> Ich habe es wie gewohnt nach den drei Kriterien
> untersucht:
> 0+0+0=0 => 0 [mm]\in[/mm] U [mm]\wedge[/mm] U [mm]\not \emptyset[/mm]
[mm]U\neq\emptyset[/mm]
\neqfür [mm]\neq[/mm]
> [mm]\vec{u}, \vec{v} \in[/mm] U
> [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}}[/mm] + [mm]\vektor{v_{1}\\
v_{2}\\
v_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{u_{1}+v_{1}\\
u_{2}+v_{2}\\
u_{3}+v_{3}}[/mm]
> => Abgeschlossen bezüglich der Addition.
Wieso das?
Ich sehe keine Begründung. Wie ist den die Bedingung dafür, dass [mm]\vektor{u_1+v_1\\
u_2+v_2\\
u_3+v_3}\in U[/mm] ist?
>
> [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vec{u}=\vektor{\alpha*u_{1}\\
\alpha*u_{2}\\
\alpha*u_{3}}=\alpha[/mm] * [mm]\vec{u}[/mm]
> => Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
Auch hier fehlt eine Begründung, das sollst du ja zeigen!
>
> In der Musterlösung steht aber folgendes:
> U: Kern(1,1,1) => Untervektorraum
Was soll das bedeuten?
Wenn das wirklich so dasteht, dann Mann Mann Mann ...
>
> Ich weiß, dass der Kern einer Matrix die Lösungsmenge des
> Linearengleichungssystems ist.
>
> Bei welchen Kernen handelt es sich bei einer Menge um einen
> Untervektorraum?
>
> Habe ein wenig recherchiert, wurde dann aber von so viel
> Information erschlagen.
>
> Kann das wer erklären, warum es so in der Lösung steht.
Kern kenne ich nur in Verbindung mit linearen Abbildungen (und entsprechenden Darstellungmatrizen für dieselben)
Wenn du eine lineare Abb [mm]\varphi:V\to W, x\mapsto \varphi(x)[/mm] bzw. mit Abbildungsmatrix [mm]A[/mm] (bzgl. fixierter Basen von [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm]) dann [mm]x\mapsto Ax[/mm]
Der [mm]\operatorname{Kern}(\varphi)=\operatorname{Kern}(A)[/mm] ist ein Untervektorraum von [mm]V[/mm]
Aber ohne Angabe einer Abbildung bzw. einer Matrix??
Was soll man da sagen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 13.04.2011 | | Autor: | zoj |
Au Backe, was habe ich den da geschrieben.
U:= [mm] \{ \vektor{x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}} \in \IR^{3} : x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \} [/mm]
Das müsste heißen:
0+0+0=0 => 0 $ [mm] \in [/mm] $ U $ [mm] \wedge [/mm] $ U $ [mm] \neq \emptyset [/mm] $
$ [mm] \vec{u}, \vec{v} \in [/mm] $ U
$ [mm] \vec{u} [/mm] $ + $ [mm] \vec{v} [/mm] $
= [mm] u_{1}+u_{2}+u_{3} [/mm] + [mm] v_{1}+v_{2}+v_{3} [/mm]
= [mm] (u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+(u_{3}+v_{3}) [/mm]
=> Abgeschlossen bezüglich der Addition.
$ [mm] \alpha \in \IR [/mm] $
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vec{u}= \alpha [/mm] * [mm] (u_{1}+u_{2}+u_{3})
[/mm]
= [mm] (\alpha*u_{1}+\alpha*u_{2}+\alpha*u_{3})
[/mm]
=> Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
Jetzt sollte es stimmen.
Nun zu der Musterlösung:
U: Kern(1,1,1) => Untervektorraum
Was das bedeuten soll weis ich auch nicht. Würde ich gerne wissen warum das so ist.
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Hallo nochmal,
> Au Backe, was habe ich den da geschrieben.
>
> U:= [mm]\{ \vektor{x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}} \in \IR^{3} : x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \}[/mm]
>
>
> Das müsste heißen:
> 0+0+0=0 => 0 [mm]\in[/mm] U [mm]\wedge[/mm] U [mm]\neq \emptyset[/mm]
>
> [mm]\vec{u}, \vec{v} \in[/mm] U
> [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v}[/mm]
> = [mm]u_{1}+u_{2}+u_{3}[/mm] + [mm]v_{1}+v_{2}+v_{3}[/mm]
> = [mm](u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+(u_{3}+v_{3})[/mm]
> => Abgeschlossen bezüglich der Addition.
Aber mit welcher Begründung??
Es ist [mm]u+v=\vektor{u_1+v_1\\
u_2+v_2\\
u_3+v_3}[/mm]
Nun musst du begründen, dass das Ding in U ist.
Es müsste dafür gelten: [mm](u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_3+v_3)=0[/mm] - so ist U ja definiert.
Gilt das?
>
> [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vec{u}= \alpha[/mm] *
> [mm](u_{1}+u_{2}+u_{3})[/mm]
> = [mm](\alpha*u_{1}+\alpha*u_{2}+\alpha*u_{3})[/mm]
> => Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
Hier ebenso, es fehlt die Begründung!
Ist [mm]\alpha u_1+\alpha u_2+\alpha u_3=0[/mm] ??
>
> Jetzt sollte es stimmen.
Njet
> Nun zu der Musterlösung:
>
> U: Kern(1,1,1) => Untervektorraum
>
> Was das bedeuten soll weis ich auch nicht. Würde ich gerne
> wissen warum das so ist.
Nun, ich weiß es beim besten Willen nicht.
Frage doch mal deinen Übungsleiter oder schicke eine E-Mail an den Assistenten ...
Ich lasse es aber mal auf "teilw. beantwortet" - vllt. weiß ja jemand anderes etwas damit anzufangen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 13.04.2011 | | Autor: | zoj |
>Aber mit welcher Begründung??
Es handelt sich um ein homogenes Gleichungssystem und dieses hat (bei vollem Rang) den Nullvektor als Lösung.
Es ist $ [mm] u+v=\vektor{u_1+v_1\\ u_2+v_2\\ u_3+v_3} [/mm] $
Für [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] kann man beliebeige Zahlen einsetzen und es kommt der Nullvektor raus.
Als Begründung könnte ich das Nullelement nehmen.
$ [mm] 0+0=\vektor{0+0\\ 0+0\\ 0+0} [/mm] $ = [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Demnach ist die Summe zweier Elemente der Menge U wieder ein Element der Menge.
Wäre das eine Begründung? Oder ist es eher ein Beispiel?
>Es müsste dafür gelten: $ [mm] (u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_3+v_3)=0 [/mm] $ - so ist U ja definiert.
>Gilt das?
Ja, denn es handelt sich um ein homogenes Gleichungssystem.
>
> $ [mm] \alpha \in \IR [/mm] $
> $ [mm] \alpha [/mm] $ * $ [mm] \vec{u}= \alpha [/mm] $ *
> $ [mm] (u_{1}+u_{2}+u_{3}) [/mm] $
> = $ [mm] (\alpha\cdot{}u_{1}+\alpha\cdot{}u_{2}+\alpha\cdot{}u_{3}) [/mm] $
> => Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
>Hier ebenso, es fehlt die Begründung!
>Ist $ [mm] \alpha u_1+\alpha u_2+\alpha u_3=0 [/mm] $ ??
Ja, denn es gilt:
[mm] \alpha*0 [/mm] + [mm] \alpha*0 [/mm] + [mm] \alpha*0 [/mm] = 0
Ist das was ich geschrieben habe richtig?
Muss man bei der Untersuchung auf Untervektorraum immer eine Begründung angeben?
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> >Aber mit welcher Begründung??
> Es handelt sich um ein homogenes Gleichungssystem und
> dieses hat (bei vollem Rang) den Nullvektor als Lösung.
>
> Es ist [mm]u+v=\vektor{u_1+v_1\\
u_2+v_2\\
u_3+v_3}[/mm]
>
> Für [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] kann man beliebeige Zahlen
> einsetzen und es kommt der Nullvektor raus.
Das hat doch nix mit der Aufgabe zu tun!
Weißt du, was Abgeschlossenheit bedeutet?
Du hast einen bel. Vektor [mm]u=\vektor{u_1\\
u_2\\
u_3}[/mm] und einen bel. Vektor [mm]v=\vektor{v_1\\
v_2\\
v_3}[/mm] aus [mm]U[/mm]
Das bedeutet: [mm]\red{u_1+u_2+u_3=0}[/mm] und [mm]\blue{v_1+v_2+v_3=0}[/mm]
So ist [mm]U[/mm] ja gerade definiert.
Nun musst du nachweisen, dass [mm]u+v=\vektor{u_1+v_1\\
u_2+v_2\\
u_3+v_3}\in U[/mm] ist
Dh. du musst zeigen, dass [mm](u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_3+v_3)=0[/mm] ist.
Ist es das?
[mm](u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_3+v_3)=...=\red{(u_1+u_2+u_3)}+\blue{(v_1+v_2+v_3)}=\red{0}+\blue{0}=0[/mm]
Die ... sind Umformungen in den reellen Zahlen (Assoziativ- und Kommutativgesetz, deren Gültigkeit du annehmen darfst)
Passt also, damit ist [mm]U[/mm] abgeschl. bzgl. Vektoraddition
>
> Als Begründung könnte ich das Nullelement nehmen.
>
> [mm]0+0=\vektor{0+0\\
0+0\\
0+0}[/mm] = [mm]\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
> Demnach ist die Summe zweier Elemente der Menge U wieder
> ein Element der Menge.
>
> Wäre das eine Begründung? Oder ist es eher ein Beispiel?
Das ist nur ein (triviales) Bsp.
>
> >Es müsste dafür gelten: [mm](u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_3+v_3)=0[/mm]
> - so ist U ja definiert.
>
> >Gilt das?
>
> Ja, denn es handelt sich um ein homogenes
> Gleichungssystem.
>
> >
> > [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> > [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vec{u}= \alpha[/mm] *
> > [mm](u_{1}+u_{2}+u_{3})[/mm]
> > =
> [mm](\alpha\cdot{}u_{1}+\alpha\cdot{}u_{2}+\alpha\cdot{}u_{3})[/mm]
> > => Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
>
> >Hier ebenso, es fehlt die Begründung!
>
> >Ist [mm]\alpha u_1+\alpha u_2+\alpha u_3=0[/mm] ??
>
> Ja, denn es gilt:
> [mm]\alpha*0[/mm] + [mm]\alpha*0[/mm] + [mm]\alpha*0[/mm] = 0
Ich würde einen Zwischenschritt machen: [mm]...=\alpha\underbrace{(u_1+u_2+u_3)}_{=0 \ \text{da} \ u\in U}=\alpha\cdot{}0=0[/mm]
Also [mm]\alpha u\in U[/mm] (denn die Summe der Komponenten ist ja wie gerade gezeigt 0, so wie es U verlangt!)
>
> Ist das was ich geschrieben habe richtig?
Du musst das genauer machen, es scheint, dass dir nicht ganz klar ist (war), was zu tun ist.
Nun ist es hoffentlich klar!
> Muss man bei der Untersuchung auf Untervektorraum immer
> eine Begründung angeben?
Ja, natürlich, darauf kommt es ja an!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mi 13.04.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Erklärung!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 13.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh noch mal genau nach. Soooo dumm sind eigentlich Lösungen zu Übungen nie. Wahrscheinlich hast du die Lösung einer anderen Aufgabe, oder die eines anderen Aufgabenblattes angesehen.
Gruss leduart
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