Untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:58 Di 01.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
wie kann ich zeigen, dass eine Menge Untervektorraum von [mm] $Abb(\IR,\IR)$.
[/mm]
Gibt es das feste Kriterien, die ich jeweils prüfen kann?
Und meine zweite Frage ist: Wie zeigt man dass [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] die direkte Summe von
zwei verschiedenen Mengen sind?
Vielen Dank
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
> Hallo,
>
> wie kann ich zeigen, dass eine Menge Untervektorraum von
> [mm] $Abb(\IR,\IR)$.
[/mm]
> Gibt es das feste Kriterien, die ich jeweils prüfen
> kann?
Sei $V$ ein $K-$Vektorraum, wobei $K$ ein Körper sei.
Eine Teilmenge [m]U \subset V[/m] heißt Untervektorraum von $V$ genau dann, wenn folgendes gilt:
UR 1) $U$ ist nicht leer (das prüft man oft, in dem man prüft, ob der Nullvektor enthalten ist)
UR 2) Für alle $x,y [mm] \in [/mm] U$ gilt: $x+y [mm] \in [/mm] U$ (nachrechnen bzw. begründen)
UR 3) Für alle [mm] $\lambda \in [/mm] K, u [mm] \in [/mm] U$ gilt: [mm] $\lambda*u \in [/mm] U$ (nachrechen bzw. begründen).
Nun ist z.B. [mm] $Abb(\IR,\IR):=\{f$ für die gilt: $f:\IR \rightarrow \IR \}$ [/mm] ein [mm] $\IR-$Vektorraum. [/mm]
Hast du nun eine Teilmenge [mm] $U_1 \subset Abb(\IR,\IR)$ [/mm] gegeben, so kannst du UR 1) überprüfen, indem du prüfst, dass die Nullabbildung:
[mm] $f_0: \IR \rightarrow \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f_0(x):=0$ [/mm] in [mm] $U_1$ [/mm] liegt.
(Das wäre dann hier der 'Nullvektor'!)
Um UR 2) zu überprüfen, nimmst du zwei (beliebige, aber feste) Funktionen $g,h [mm] \in U_1$ [/mm] und rechnest nach (bzw. zeigst/begründest), dass $g+h [mm] \in U_1$ [/mm] gilt.
Um UR 3) zu überprüfen, nimmst du eine (beliebige, aber feste) Funktion $u [mm] \in U_1$ [/mm] und ein (beliebiges, aber festes) [m]\lambda \in K=\IR[/m] und prüfst, dass [m]\lambda*u \in U_1[/m] gilt.
Wenn du nun UR 1) oder UR 2) oder UR 3) bzgl. [mm] $U_1$ [/mm] widerlegen kannst (zum Beispiel mit einem Gegenbeispiel für UR 1) oder UR 2) oder UR 3)), dann ist [mm] $U_1$ [/mm] kein Unterraum von [mm] $Abb(\IR,\IR)$.
[/mm]
Wenn du allerdings nachweisen kannst, dass sowohl UR 1) als auch UR 2) als auch UR 3) für [mm] $U_1$ [/mm] erfüllt sind, dann ist [mm] $U_1$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $Abb(\IR,\IR)$. [/mm]
PS: UR 2) und UR 3) kann man (in der Definition des Unterraumes) auch durch eine (dazu äquivalente) Bedingung ersetzen. Anstatt UR 2) und UR 3) nachzurechnen, kannst du auch nachrechnen:
UR 2,3) Für alle [mm] $\lambda_1,\lambda_2 \in [/mm] K$ und für alle $u,v [mm] \in [/mm] U$ gilt:
[mm] $\lambda_1*u+\lambda_2*v \in [/mm] U$.
Den Rest deiner Frage lasse ich mal offen...
Gute N8!
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Und meine zweite Frage ist: Wie zeigt man dass [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm]
> die direkte Summe von
> zwei verschiedenen Mengen sind?
Von welchen beiden Mengen denn?
Im Allgemeinen musst du zeigen, dass sich jedes Element aus [mm] $Abb(\IR,\IR)$ [/mm] in eindeutiger Weise als Summe von Elementen der beiden Unterräume schreiben lässt. Dazu genügt es zeigen, dass sich jedes Element aus [mm] $Abb(\IR,\IR)$ [/mm] als Summe von Elementen der beiden Unterräume schreiben lässt und dass im Schnitt der beiden Unterräume nur die Nullabbildung (also das neutrale Element von [mm] $Abb(\IR,\IR)$) [/mm] liegt.
Liebe Grüße
Julius
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