Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | Ist die Teilmenge [mm] U_{1} [/mm] auch Untervektorraum des jeweiligen [mm] \IR [/mm] -Vektoraums V?
a) V= [mm] \IR^{3}, U_{1}= [/mm] { [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] : x+4y-z=0} |
Hallo zusammen! Bei mir gehts nun los mit Linearer Algebra, und hier schon die ersten "Startschwierigkeiten" ... vorab schonmal danke fürs lesen und mitdenken!!
also ich weiß, eine Teilmenge ist UVR wenn 3 Bedingungen gelten...(ich schreib sie hier jetzt nicht alle auf, oder?)
mein beweis bisher:
1. sei [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = 0 = [mm] \vektor{0\\0\\0} \in U_{1}, [/mm] dann gilt 0+4*0-0=0 (wahr)
2. sei u1= [mm] \vektor{x1\\y1\\z1} [/mm] und u2 = [mm] \vektor{x2\\y2\\z2} \in [/mm] U1, dann gilt: u1+u2 = (x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0+0
und jetzt? wie zeig ich dass das wahr ist? Kann ich aus (1.) einfach annehmen, dass x1 und x2 beide = 0 sind und damit die jeweiligen Klammern = 0 oder muss ich x1 mit y1 und z1 zusammenbringen um sagen zu können, dass das dann = 0, also noch ein bisschen sortieren? aber wenn ja, wie?
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Hallo !
> Ist die Teilmenge [mm] U_{1} [/mm] auch Untervektorraum des jeweiligen
> [mm] \IR [/mm] -Vektoraums V?
>
> a) V= [mm] \IR^{3}, U_{1}= [/mm] { [mm] \vektor{x\\y\\z}: [/mm] x+4y-z=0}
> also ich weiß, eine Teilmenge ist UVR wenn 3 Bedingungen
> gelten...(ich schreib sie hier jetzt nicht alle auf,
> oder?)
Ja (zu beidem).
> mein beweis bisher:
>
> 1. sei [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = 0 = [mm] \vektor{0\\0\\0} \in U_{1},
[/mm]
> dann gilt 0+4*0-0=0 (wahr)
Prinzipiell alles richtig. Du musst das aber etwas anders aufschreiben.
Dein Ziel ist ja zu zeigen, dass das Nullelement von V (der Nullvektor [mm] \vektor{0\\0\\0}) [/mm] auch in [mm] U_1 [/mm] enthalten ist. Diese Struktur muss auch dein Beweis haben.
Also:
Für $u = [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] := [mm] \vektor{0\\0\\0}$ [/mm] gilt: $x + 4*y -z = 0+4*0-0 = 0$, d.h. $u [mm] \in U_1$.
[/mm]
> 2. sei $u1= [mm] \vektor{x1\\y1\\z1}$ [/mm] und $u2 = [mm] \vektor{x2\\y2\\z2} \in$
[/mm]
> U1, dann gilt: u1+u2 = (x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0+0
> und jetzt? wie zeig ich dass das wahr ist? Kann ich aus
> (1.) einfach annehmen, dass x1 und x2 beide = 0 sind und
> damit die jeweiligen Klammern = 0 oder muss ich x1 mit y1
> und z1 zusammenbringen um sagen zu können, dass das dann =
> 0, also noch ein bisschen sortieren? aber wenn ja, wie?
Vielleicht meinst du das richtige, aber ganz kann ich dir nicht folgen 
So sollte es aussehen:
Seien [mm] $u_1 [/mm] = [mm] \vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2 [/mm] = [mm] \vektor{x_2\\y_2\\z_2} \in U_1$.
[/mm]
Daher gilt [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 4*y_1 [/mm] - [mm] z_1 [/mm] = 0$ und [mm] $x_2 [/mm] + [mm] 4*y_2 [/mm] - [mm] z_2 [/mm] = 0$. (*)
Nach Def. ist [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] = [mm] \vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}$. [/mm] Es gilt
[mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] 4*(y_1 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] - [mm] (z_1 [/mm] + [mm] z_2) [/mm] = ...
Nun musst du das nur noch umsortieren (evtl. meintest du das) und mit (*) zeigen, dass ... = 0 ist. Dann hast du nachgewiesen, dass [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in U_1 [/mm] ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> Prinzipiell alles richtig. Du musst das aber etwas anders
> aufschreiben.
> Dein Ziel ist ja zu zeigen, dass das Nullelement von V
> (der Nullvektor [mm]\vektor{0\\0\\0})[/mm] auch in [mm]U_1[/mm] enthalten
> ist. Diese Struktur muss auch dein Beweis haben.
>
> Also:
>
> Für [mm]u = \vektor{x\\y\\z} := \vektor{0\\0\\0}[/mm] gilt: [mm]x + 4*y -z = 0+4*0-0 = 0[/mm],
> d.h. [mm]u \in U_1[/mm].
>
Danke für die richtige Schreibweise!
>
> > 2. sei [mm]u1= \vektor{x1\\y1\\z1}[/mm] und [mm]u2 = \vektor{x2\\y2\\z2} \in[/mm]
>
> > U1, dann gilt: u1+u2 = (x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0+0
>
> > und jetzt? wie zeig ich dass das wahr ist? Kann ich aus
> > (1.) einfach annehmen, dass x1 und x2 beide = 0 sind und
> > damit die jeweiligen Klammern = 0 oder muss ich x1 mit y1
> > und z1 zusammenbringen um sagen zu können, dass das dann =
> > 0, also noch ein bisschen sortieren? aber wenn ja, wie?
>
> Vielleicht meinst du das richtige, aber ganz kann ich dir
> nicht folgen
>
> So sollte es aussehen:
> Seien [mm]u_1 = \vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2 = \vektor{x_2\\y_2\\z_2} \in U_1[/mm].
>
> Daher gilt [mm]x_1 + 4*y_1 - z_1 = 0[/mm] und [mm]x_2 + 4*y_2 - z_2 = 0[/mm].
> (*)
>
> Nach Def. ist [mm]u_1 + u_2 = \vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm].
> Es gilt
>
> [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = ...
>
> Nun musst du das nur noch umsortieren (evtl. meintest du
> das) und mit (*) zeigen, dass ... = 0 ist. Dann hast du
> nachgewiesen, dass [mm]u_1[/mm] + [mm]u_2 \in U_1[/mm] ist.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
hm.. ich weiß immer noch nicht warum und wo nach ich sortieren muss. zu (x1+y1+z1) um dann zu sagen, dass das =0 ???
aber mein Denkproblem: dann ist doch auch (x2+y2+z2)=0 und somit doch eigentlich auch x1+x2. und das steht ja schon dort:
> [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = 0+0
warum dann noch sortiern?
ach...verstehst du meinen Knoten?
...ich glaub ich hab den Knoten gelöst:
nach def. ist u1+u2 = [mm] \vektor{x1+x2\\y1+y2\\z1+z2}, [/mm] also
(x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0
[mm] \gdw [/mm] (das hast du wohl mit umsortieren gemein??) (x1+4y1-z1)+(x2+4y2-z2)=0
und da (x1+4y1-z1) = 0 nach obriger Annahme (gleiches gilt für (x2...)
ist 0+0=0, wahr und somit u1+u2 [mm] \in U_{1}
[/mm]
hab ich das korrekt aufgeschrieben?
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Hallo,
> > So sollte es aussehen:
> > Seien [mm]u_1 = \vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2 = \vektor{x_2\\y_2\\z_2} \in U_1[/mm].
>
> >
> > Daher gilt [mm]x_1 + 4*y_1 - z_1 = 0[/mm] und [mm]x_2 + 4*y_2 - z_2 = 0[/mm].
> > (*)
> >
> > Nach Def. ist [mm]u_1 + u_2 = \vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm].
> > Es gilt
> >
> > [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = ...
> >
> > Nun musst du das nur noch umsortieren (evtl. meintest du
> > das) und mit (*) zeigen, dass ... = 0 ist. Dann hast du
> > nachgewiesen, dass [mm]u_1[/mm] + [mm]u_2 \in U_1[/mm] ist.
> >
> > Viele Grüße,
> > Stefan
>
> hm.. ich weiß immer noch nicht warum und wo nach ich
> sortieren muss. zu (x1+y1+z1) um dann zu sagen, dass das =0
> ???
Nein.
> aber mein Denkproblem: dann ist doch auch (x2+y2+z2)=0 und
> somit doch eigentlich auch x1+x2. und das steht ja schon
> dort:
>
> > [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = 0+0
>
>
> warum dann noch sortiern?
>
> ach...verstehst du meinen Knoten?
Nicht ganz. Du musst doch die Voraussetzung benutzen, also (*).
Bei dir ist noch nicht klar, dass du diese benutzt. Vielleicht meinst du auch die ganze Zeit das richtige, aber ich vermisse noch einen Zwischenschritt (siehe rot unten).
Aber vielleicht löst der Knoten sich ja, wenn ich die Lösung hinschreibe:
[mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] 4*(y_1 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] - [mm] (z_1 [/mm] + [mm] z_2) =\red{ (x_1 + 4*y_1 - z_1) + (x_2 + 4*y_2 - z_2) }\overset{(*)}{=} [/mm] 0+0 = 0.$
Damit folgt jetzt [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in U_1$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
hatte meine Frage noch zeitgleich zu deiner Antwort geändert und habs verstanden! Dankeschön!!
Jetzt sind mir die Schritte klar, nur leider werden die Aufgaben schwieriger... (also bis später :) )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | V= {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] Abbildung}
[mm] U_{1} [/mm] = {f [mm] \in [/mm] V ; [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : f(-x)= - f(x) }
[mm] U_{2} [/mm] = {f besitzt eine Nullstelle} |
1. Schritt: ich will zeigen, dass 0 [mm] \in U_{1}.. [/mm] und schon hab ich keine Ahnung... wer hilft mir?
ich hab eine Lösung (abgeschrieben)in der steht: 0= -f(-x) = -f(x)=0=f(x)
daraus folgt 0 [mm] \in U_{1}
[/mm]
kann mir das jemand erklären?
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Hallo,
> V= {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] Abbildung}
> [mm] U_{1} [/mm] = {f [mm] \in [/mm] V ; [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : f(-x)= - f(x) }
> [mm] U_{2}= [/mm] {f besitzt eine Nullstelle}
> 1. Schritt: ich will zeigen, dass 0 [mm] \in U_{1}.. [/mm] und schon
> hab ich keine Ahnung... wer hilft mir?
> ich hab eine Lösung (abgeschrieben)in der steht: 0= -f(-x)
> = -f(x)=0=f(x)
> daraus folgt 0 [mm] \in U_{1}
[/mm]
>
> kann mir das jemand erklären?
Als erstes musst du überlegen, was das (additive) Nullelement im Vektorraum V ist. Und das ist die Nullfunktion $f(x) = 0$ (sie weist jedem Wert x den Wert 0 zu).
Du willst nun zeigen, dass diese Funktion auch im Raum [mm] U_1 [/mm] liegt.
Du musst also zeigen, dass die Nullfunktion die Eigenschaft von [mm] $U_1$ [/mm] erfüllt: $f(-x) = -f(x)$.
Rechnen wir es nach:
$f(-x) = 0 = -0 = -f(x)$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 So 21.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> Als erstes musst du überlegen, was das (additive)
> Nullelement im Vektorraum V ist. Und das ist die
> Nullfunktion [mm]f(x) = 0[/mm] (sie weist jedem Wert x den Wert 0
> zu).
Ja, ok!
> Du willst nun zeigen, dass diese Funktion auch im Raum [mm]U_1[/mm]
> liegt.
Ja!
> Du musst also zeigen, dass die Nullfunktion die Eigenschaft
> von [mm]U_1[/mm] erfüllt: [mm]f(-x) = -f(x)[/mm].
Ja!
> Rechnen wir es nach:
>
> [mm]f(-x) = 0 = -0 = -f(x)[/mm].
warum fängst man jetzt hier nicht mit f(x) = ... an, warum sagst du direkt f(-x) ?
Jedem x-wert wird der wert 0 zugeschrieben, also ist klar, dass auch f(-x)=0. mir ist nur nicht klar, dass man das direkt so schreiben darf... aber ok, ich nimms hin
andere Frage:
ist die Lösung,die ich oben angegeben hatte denn dann formal auch richtig?
LG und Dankeschön, Sarah
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Hallo,
> > Du musst also zeigen, dass die Nullfunktion die Eigenschaft
> > von [mm]U_1[/mm] erfüllt: [mm]f(-x) = -f(x)[/mm].
>
> Ja!
>
> > Rechnen wir es nach:
> >
> > [mm]f(-x) = 0 = -0 = -f(x)[/mm].
>
> warum fängst man jetzt hier nicht mit f(x) = ... an, warum
> sagst du direkt f(-x) ?
Weil wir nachrechnen wollen: $f(-x) = -f(x)$.
Das heißt, wir müssen auf der linken Seite mit
$f(-x) = ....$
beginnen, dann umformen .... und zuletzt muss bei der rechten Seite genau das rauskommen, was wir zeigen wollen, also
$.... = -f(x)$
Wir überzeugen uns also von der Richtigkeit der Gleichung $f(-x) = -f(x)$, indem wir genügend Zwischenschritte einfügen, so dass es offensichtlich wird.
> Jedem x-wert wird der wert 0 zugeschrieben, also ist klar,
> dass auch f(-x)=0. mir ist nur nicht klar, dass man das
> direkt so schreiben darf... aber ok, ich nimms hin
Dein Problem ist, dass wir f(x) = 0 schreiben, und dann irgendwie nicht klar ist, dass f(-x) = 0 ist.
Das ist aber nur ein Problem, weil wir das ganze nicht "hyper-ordentlich" aufgeschrieben haben. Es ist ja anhand der Funktionsdefinition klar. (Das x ist bei einer Funktionsvorschrift nur ein Platzhalter).
Wenn man ganz exakt ist, würde man "f(x) = 0" nicht als Funktionsdefinition verstehen (das hängt daran, dass man x als Variable sieht, die einen Wert hat, z.B. x = 1. Wenn man schreibt: f(x) = 0, würde man somit nur meinen f(1) = 0 und die Funktion nur an einer Stelle beschreiben). Exakt müsste man schreiben:
[mm] $f:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0$.
> andere Frage:
> ist die Lösung,die ich oben angegeben hatte denn dann
> formal auch richtig?
Bei mir hätte man dafür nicht volle Punktzahl bekommen. Es ist nicht klar, warum die Aussage f(-x) = -f(x) gezeigt ist, und warum da drei f(..) in der Gleichung stehen.
Du musst dich in den Übungsleiter hineinversetzen: Die Aufgabe ist aus seiner Sicht trivial. Das einzige, für was man Punkte geben kann, ist also, dass es gewissenhaft und "nachvollziehbar" (im mathematischen Sinne) aufgeschrieben ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:24 So 21.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
man fragt sich halt im 1. Semester so einiges... aber danke für deine sehr ausführlichen Antworten.
So gehts jetzt bei mir weiter:
seien u1 [mm] \in [/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm] \in [/mm] U1 : f2(-x), dann gilt
f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie
u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
Also ist
(f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)= -f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)= -(f1+f2)(x)
daraus folgt u1+u2 [mm] \in [/mm] U1
ich hoffe das ist korrekt aufgeschrieben?! Vermutlich könnte ich mir einiges sparen, aber so ist es auch später noch für mich verständlich.
Danke nochmal und eine gute Nacht!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 So 21.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> man fragt sich halt im 1. Semester so einiges... aber danke
> für deine sehr ausführlichen Antworten.
>
> So gehts jetzt bei mir weiter:
>
> seien u1 [mm]\in[/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm]\in[/mm] U1 : f2(-x), dann gilt
> f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie
> u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
> Also ist
> (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)= -f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)=
> -(f1+f2)(x)
> daraus folgt u1+u2 [mm]\in[/mm] U1
>
> ich hoffe das ist korrekt aufgeschrieben?!
Nein.
Seien [mm] u_1,u_2 \in U_1 \quad (u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind Funktionen !)
Nun mußt Du testen, ob [mm] u:=u_1+u_2 \in U_1 [/mm] gilt:
[mm] u(-x)=(u_1+u_2)(-x) =u_1(-x)+u_2(-x)=-u_1(x)-u_2(x) =-(u_1+u_2)(x)=-u(x) [/mm] für jedes x.
Fazit : [mm] u:=u_1+u_2 \in U_1 [/mm]
FRED
> Vermutlich
> könnte ich mir einiges sparen, aber so ist es auch später
> noch für mich verständlich.
>
> Danke nochmal und eine gute Nacht!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 21.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> > man fragt sich halt im 1. Semester so einiges... aber danke
> > für deine sehr ausführlichen Antworten.
> >
> > So gehts jetzt bei mir weiter:
> >
> > seien u1 [mm]\in[/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm]\in[/mm] U1 : f2(-x), dann gilt
> > f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie
> > u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
> > Also ist
> > (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)=
> -f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)=
> > -(f1+f2)(x)
> > daraus folgt u1+u2 [mm]\in[/mm] U1
> >
> > ich hoffe das ist korrekt aufgeschrieben?!
>
> Nein.
>
> Seien [mm]u_1,u_2 \in U_1 \quad (u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] sind Funktionen
> !)
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> Nun mußt Du testen, ob [mm]u:=u_1+u_2 \in U_1[/mm] gilt:
>
> [mm]u(-x)=(u_1+u_2)(-x) =u_1(-x)+u_2(-x)=-u_1(x)-u_2(x) =-(u_1+u_2)(x)=-u(x)[/mm]
> für jedes x.
>
> Fazit : [mm]u:=u_1+u_2 \in U_1[/mm]
>
> FRED
>
Ok. Dann kann ich aber doch auch das hier stehen lassen (oder?)
seien f1 und f2 [mm] \in [/mm] U , dann gilt:
> >f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie
f1 +f2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
> > Also ist
> > (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)=
> >-f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)=
> > -(f1+f2)(x)
daraus folgt f1+f2 [mm] \in [/mm] U
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Hallo,
Ich nehme auch nochmal auf deinen vorherigen Post Bezug:
> > > So gehts jetzt bei mir weiter:
> > >
> > > seien u1 [mm]\in[/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm]\in[/mm] U1 : f2(-x), dann gilt
Bei dir bezeichnen hier u1 und f1 fast dasselbe? Wieso führst du zwei Variablen für dasselbe ein?
u1 bezeichnet eine Funktion, und wenn du etwas einsetzt, also [mm] u_1(x), [/mm] dann kommt eine Zahl raus.
Deswegen ist es nicht sinnvoll,
> > > u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
zu schreiben. Auf der linken Seite des ersten Gleichheitszeichens stehen Funktionen, auf der rechten Seite stehen Zahlen. Richtiger wäre es gewesen, [mm] (u_1 [/mm] + [mm] u_2)(x) [/mm] zu schreiben.
> Ok. Dann kann ich aber doch auch das hier stehen lassen
> (oder?)
>
> seien f1 und f2 [mm]\in[/mm] U , dann gilt:
>
> > >f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x)
... für alle x [mm] \in \IR, [/mm]
> , sowie
> f1 +f2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
Du kannst diesen Teil vollständig weglassen. Das erste Gleichheitszeichen hat keinen Sinn, s.o.
Du musst unterscheiden zwischen der Funktion f1 und dem Funktionswert f1(x) !
Du möchtest zeigen, dass die Funktion f1 eine bestimmte Eigenschaft besitzt, in diesem Fall: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR: f_1(-x) [/mm] = [mm] -f_1(x)$. [/mm] Du siehst, dass in dieser zu zeigenden Eigenschaft nur FunktionsWERTE vorkommen, also müssen in deiner ganzen Argumentation auch nur FunktionsWERTE vorkommen.
> > > Also ist
> > > (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)=
> > >-f1(x)+(-(f2(x))
Bis hierher wunderbar. Ab jetzt wäre es besser, das "-" zuvor auszuklammern.
$= [mm] -(f_1(x) [/mm] + [mm] f_2(x)) [/mm] = [mm] -(f_1 [/mm] + [mm] f_2)(x)$.
[/mm]
Das hat den Grund, das für Funktionen zunächst nur "+" definiert wird. Du benutzt ansonsten soetwas wie ein Distributivgesetz für Funktionen (das gilt natürlich, aber dann basiert der Beweis nicht mehr nur auf den Definitionen).
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 21.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | V={ [mm] {(a_{i})_{i\in \IN}| \forall i \in \IN : a_{i} \in \IR} [/mm] }
U1= { [mm] {(a_{i})_{i\in \IN} \in V | \forall i \in \IN : a_{i+1} = a_{i}^2} [/mm] } |
mein Ansatz:
1. Ein Nullelement in VR V ist die Nullfolge [mm] (a_{i})_{i?in ?IN} [/mm] = 0,
z.z. Nullfkt erfüllt die Eigenschaft [mm] a_{i+1} [/mm] = [mm] a_{i}^2
[/mm]
da [mm] a_{i} [/mm] = 0 = (0,0,0,0,...) ist, ist jedes Folgenglied gleich Null, also gilt [mm] a_{i+1} [/mm] = 0 = [mm] a_{i}^2. [/mm] Somit 0 [mm] \in [/mm] U1.
kann ich das so schreiben?
2. zur Abgeschlossenheit der Addition fällt mir formal nix ein. Meine Gedanken: sei die folge a = (2,4,16,...) und b= (3,9,81,...) [mm] \in [/mm] U1. zu zeigen ist dann, dass a+b auch element von U1 ist und das wäre mit dem Zahlenbespiel ja richtig: 4+9 = [mm] 2^2+3^2
[/mm]
aber wie drücke ich das aus?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> V={ [mm]{(a_{i})_{i\in \IN}| \forall i \in \IN : a_{i} \in \IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Hallo,
es wird also der VR der reellen Folgen betrachtet mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation mit Elementen aus \IR.
> U1= { [mm]{(a_{i})_{i\in \IN} \in V | \forall i \in \IN : a_{i+1} = a_{i}^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> mein Ansatz:
>
> 1. Ein Nullelement
> in VR V ist die Nullfolge [mm](a_{i})_{i?in ?IN}[/mm] = 0,
> z.z. Nullfkt erfüllt die Eigenschaft [mm]a_{i+1}[/mm] = [mm]a_%7Bi%7D%5E2[/mm]
> da [mm]a_{i}[/mm] = 0 = (0,0,0,0,...) ist, ist jedes Folgenglied
> gleich Null, also gilt [mm]a_{i+1}[/mm] = 0 = [mm]a_{i}^2.[/mm] Somit 0 [mm]\in[/mm]
> U1.
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> kann ich das so schreiben?
Ich würde es so schreiben:
das (!) Nullelement in V ist die Nullfolge (0,0,0,...).
Diese Folge ist wegen [mm] 0=0^2 [/mm] auch in [mm] U_1.
[/mm]
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> 2. zur Abgeschlossenheit der Addition fällt mir formal nix
> ein. Meine Gedanken: sei die folge a = (2,4,16,...) und b=
> (3,9,81,...) [mm]\in[/mm] U1. zu zeigen ist dann, dass a+b auch
> element von U1 ist
Genau.
Dazu schreiben wir mal a+b auf:
a+b=(2+3, 4+9,16+81,...)=(5,13,97,...).
Und? Ist [mm] a+b\in U_1? [/mm] Woran merkt man, daß eine Folge "drin" ist?
LG Angela
> und das wäre mit dem Zahlenbespiel ja
> richtig: 4+9 = [mm]2^2+3^2[/mm]
> aber wie drücke ich das aus?
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