Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Do 15.12.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einen Körper K und [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] Untervektorräume, sodass [mm] dim_{K}U_{1}=dim_{k}U_{2}.
[/mm]
Es sei nun K=IR, [mm] V=IR^{3}, U_{1}= [/mm] < [mm] \vektor{1 \\ 1 \\2}, \vektor{1 \\ -1 \\0}> [/mm] und [mm] U_{2}=< \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 2 \\1}>. [/mm] Finde einen Untervektorraum W von [mm] IR^{3}, [/mm] sodass gilt: [mm] V=U_{1} \oplus [/mm] W = [mm] U_{2} \oplus [/mm] W |
Weiß leider gar nicht, wie ich ansetzen soll... Könnte mir jemand auf die sprünge helfen?
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> Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einen
> Körper K und [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] Untervektorräume, sodass
> [mm]dim_{K}U_{1}=dim_{k}U_{2}.[/mm]
> Es sei nun K=IR, [mm]V=IR^{3}, U_{1}=[/mm] < [mm]\vektor{1 \\
1 \\
2}, \vektor{1 \\
-1 \\
0}>[/mm]
> und [mm]U_{2}=< \vektor{0 \\
0 \\
1}, \vektor{0 \\
2 \\
1}>.[/mm]
> Finde einen Untervektorraum W von [mm]IR^{3},[/mm] sodass gilt:
> [mm]V=U_{1} \oplus[/mm] W = [mm]U_{2} \oplus[/mm] W
> Weiß leider gar nicht, wie ich ansetzen soll... Könnte
> mir jemand auf die sprünge helfen?
Hallo,
Du müßtest schon sagen, was genau Dir nicht klar ist.
Sonst stochert man ja im nebel, wenn man helfen möchte.
Die direkte Summe ist klar?
Du bist auf der Gewinnerseite, wenn Du einen Vektor v findest, mit welchem Du beide (!) Erzeugendensysteme zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 15.12.2011 | | Autor: | rollroll |
gibt es ein Rezept , wie man auf der Suche am besten vorgeht?
Wenn [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = {0} ist, dann ist doch die Summe von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] direkt, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> gibt es ein Rezept , wie man auf der Suche am besten
> vorgeht?
> Wenn [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = {0} ist, dann ist doch die Summe
> von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] direkt, oder?
das kann hier aber nicht sein, denn anderenfalls wäre
$3= dim( [mm] \IR^3)= dim(U_1)+dim(U_2)=2+2=4$
[/mm]
Ein Rezept habe ich nicht, aber vielleicht sollte man genau hingucken. Ich denke man kann sehen, dass mit $W:=< [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}> [/mm] $ gilt: $V= [mm] \IR^3= U_{2} \oplus [/mm] W$.
Nun würde ich ausprobieren , ob dann auch gilt: $V= [mm] \IR^3= U_{1} \oplus [/mm] W$.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 15.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ich denke man kann sehen, dass mit [mm]W:=< \vektor{1 \\ 0 \\ 0}>[/mm]
> gilt: [mm]V= \IR^3= U_{2} \oplus W[/mm].
Könntest du nochmal kurz erklären, wie ,,man'' das sieht?
>
> Nun würde ich ausprobieren , ob dann auch gilt: [mm]V= \IR^3= U_{1} \oplus W[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Ich denke man kann sehen, dass mit [mm]W:=< \vektor{1 \\ 0 \\ 0}>[/mm]
> > gilt: [mm]V= \IR^3= U_{2} \oplus W[/mm].
>
> Könntest du nochmal kurz erklären, wie ,,man'' das
> sieht?
Schau die die Vektoren in
$ [mm] U_{2}=< \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 2 \\1}>. [/mm] $
ganau an. Siehst Du nicht, dass [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2 \\1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] linear unabhängig sind ?
FRED
>
> >
> > Nun würde ich ausprobieren , ob dann auch gilt: [mm]V= \IR^3= U_{1} \oplus W[/mm].
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 15.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ja, gut, stimmt, das sieht ,,man''.
Also muss ich jetzt überprüfen, ob (1 0 0) und die vektoren aus [mm] U_{1} [/mm] auch l.u. sind? das trifft ja zu... Also gilt dann , dass [mm] V=U_{1}\oplus W=U_{2} \oplus [/mm] W
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 15.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
am einfachsten ist doch, du überprüfst das indem du $ [mm] V=U_{1}\oplus$ [/mm] W und [mm] $U_{2} \oplus [/mm] $ W bildest, das musst du wohl für die Abgabe sowieso.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 15.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Hallo
> am einfachsten ist doch, du überprüfst das indem du
> [mm]V=U_{1}\oplus[/mm] W und [mm]U_{2} \oplus[/mm] W bildest, das musst du
> wohl für die Abgabe sowieso.
> Gruss leduart
Hmm, ok und wie bilde ich die direkte Summe von dem gefundenen W und [mm] U_{1} [/mm] bzw. [mm] U_{2}?
[/mm]
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> > Hallo
> > am einfachsten ist doch, du überprüfst das indem du
> > [mm]V=U_{1}\oplus[/mm] W und [mm]U_{2} \oplus[/mm] W bildest, das musst du
> > wohl für die Abgabe sowieso.
> > Gruss leduart
>
>
> Hmm, ok und wie bilde ich die direkte Summe von dem
> gefundenen W und [mm]U_{1}[/mm] bzw. [mm]U_{2}?[/mm]
Hallo,
Du guckst nach, ob [mm] \IR^3=U_1+W [/mm] und [mm] \IR^3=U_2+W [/mm] ist, und ob [mm] U_i\cap W=\{0\}.
[/mm]
Falls Du nicht weißt, was die Summe ist - bemühst Du halt Deine Mitschrift/das Skript.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, gut, stimmt, das sieht ,,man''.
> Also muss ich jetzt überprüfen, ob (1 0 0) und die
> vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] auch l.u. sind? das trifft ja zu... Also
> gilt dann , dass [mm]V=U_{1}\oplus W=U_{2} \oplus[/mm] W
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Fr 16.12.2011 | | Autor: | rollroll |
werde aus meinen unterlagen nicht wirklich schlau...
Muss man einfach die beiden Vektoren aus [mm] U_{1} [/mm] bzw. [mm] U_{2} [/mm] mit W addieren? Also ich meine: (1 1 2) + (1 -1 0)+(1 0 0)=(3 0 2)?
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Hallo rollroll,
> werde aus meinen unterlagen nicht wirklich schlau...
> Muss man einfach die beiden Vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] bzw. [mm]U_{2}[/mm]
> mit W addieren? Also ich meine: (1 1 2) + (1 -1 0)+(1 0
> 0)=(3 0 2)?
Nein.
Als Basis sind die Vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] bzw. [mm]U_{2}[/mm] zu nehmen,
ergänzt um den Vektor aus W.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 17.12.2011 | | Autor: | rollroll |
So dass ich jeweils eine Basis mit drei vektoren erhalte?
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Hallo rollroll,
> So dass ich jeweils eine Basis mit drei vektoren erhalte?
Ja, genau.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 17.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Also so:
[mm] U_{1}\oplus W=<\vektor{1 \\ 1 \\2}, \vektor{1 \\ -1 \\0 }, \vektor{1 \\ 0 \\0}>?
[/mm]
Analog für [mm] U_{2} \oplus [/mm] W.
Dann gilt die geforderte Eigenschaft: [mm] V=U_{1} \oplus [/mm] W = [mm] U_{2} \oplus [/mm] W.
Reicht das aus , oder muss man noch etwas zeigen für diese Aufgabe?
z.b: [mm] U_{1} \cap U_{2}= [/mm] {0}
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Hallo rollroll,
> Also so:
> [mm]U_{1}\oplus W=<\vektor{1 \\ 1 \\2}, \vektor{1 \\ -1 \\0 }, \vektor{1 \\ 0 \\0}>?[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Analog für [mm]U_{2} \oplus[/mm] W.
> Dann gilt die geforderte Eigenschaft: [mm]V=U_{1} \oplus[/mm] W =
> [mm]U_{2} \oplus[/mm] W.
> Reicht das aus , oder muss man noch etwas zeigen für
> diese Aufgabe?
> z.b: [mm]U_{1} \cap U_{2}=[/mm] {0}
Das reicht für diese Aufgabe.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Sa 17.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Mich würde jetzt noch interessieren, ob es stets einen UVR W von V gibt, so dass $ [mm] V=U_{1} \oplus W$=U_{2} \oplus [/mm] W. Ich meine, wie man das beweist??
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Hallo rollroll,
> Mich würde jetzt noch interessieren, ob es stets einen UVR
> W von V gibt, so dass [mm]V=U_{1} \oplus W[/mm][mm] =U_{2} \oplus[/mm] W. Ich
> meine, wie man das beweist??
Der Vektor in W muss linear unabhängig zu
den Vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] bzw. [mm]U_{2}[/mm] sein.
Dazu bildest eine Matrix, die aus den Vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] bzw.
[mm]U_{2}[/mm] und einem zunächst beliebigen Vektor W besteht.
Davon bildest Du die Determinante und erhältst Kriterien,
wie der Vektor nicht lauten darf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 17.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Vielelicht noch mal ne blöde Frage, aber [mm] W=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist doch gar kein Untervektorraum von [mm] IR^{3}, [/mm] oder? Wenn [mm] x_{1} [/mm] = 1 ist, dann ist doch z.B. die abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation gar nicht erfüllt, oder?
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Hallo rollroll,
> Vielelicht noch mal ne blöde Frage, aber [mm]W=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> ist doch gar kein Untervektorraum von [mm]IR^{3},[/mm] oder? Wenn
> [mm]x_{1}[/mm] = 1 ist, dann ist doch z.B. die abgeschlossenheit
> bzgl. der Skalarmultiplikation gar nicht erfüllt, oder?
In W sind doch alle Vektoren der Form
[mm]\lambda*\pmat{1 \\ 0 \\ 0}, \ \lambda \in \IR[/mm]
Gruss
MathePower
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> werde aus meinen unterlagen nicht wirklich schlau...
Hallo,
dann wäre es klug, mitzuteilen, was in Deinen Unterlagen steht zur Definition der Summe zweier UVRe.
Wenn die vorläge, könnte man möglicherweise Fehlverständnisse aufklären.
Gruß v. Angela
> Muss man einfach die beiden Vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] bzw. [mm]U_{2}[/mm]
> mit W addieren? Also ich meine: (1 1 2) + (1 -1 0)+(1 0
> 0)=(3 0 2)?
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