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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Di 19.01.2010 | | Autor: | Masaky |
| Aufgabe | 1. Vom Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt P des Graphen von f (f(x)=x-ln(x)) gelegt werden. Ermitteln sie die Koordinaten von P.
2. Führen Sie eine Kurvendiskussion durch!
f(x) [mm] =\bruch{4*ln(x)}{x} [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe!
Also zu 1:
Voerst habe ich eine Kurvenduskusionn zu der Funktion gemacht!
Also eine Tangente berüht ja an einen Punkt des Graphen. Und ein Punkt, durch den die Tangente geht ist ja P(0/0).
Aber wie komme ich jetzt auf P? Die Steigung der Tangenten ist doch unbekannt?!
zu 2:
Naja angefangen bin ich schon: Es gibt eine Nullstelle, x = 1.
Aber die erste Ableitung bereitet mir Probleme ;D
f(x) [mm] =\bruch{4*ln(x)}{x} [/mm]
(nach der Quotientenregel)
f'(x)= [mm] \bruch{-4 * ln(x) *1 + 4 * \bruch{1}{x} * x}{x^2} [/mm] = 0
nur der Zähler muss ja 0 sein:
-4 * ln(x) *1 + 4 * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * x = 0
4* ln(x) - 4x = 0
ln(x) = x
Doch da hab ich noch irgend einen Fehler drin?!
Danke für Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Di 19.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masaky!
Sei $t(x) \ = \ m*x$ die Tangente. Von dem bisher unbekannten Berührpunkt $P \ [mm] \left( \ a \ | \ f(a) \ \right)$ [/mm] kennen wir folgendes:
$$f'(a) \ = \ m$$
$$f(a) \ = \ t(a) \ = \ m*a$$
Damit hast Du nunmehr ein Gleichungssystem, um den gesuchten Wert $a_$ zu ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 19.01.2010 | | Autor: | Masaky |
Hm tut mir jetzt leid, sagen zu müssen dass es mir irgendwie nichts weiter gebrahct hat, aber
wenn ich f'(a) = m
und f(a) = m*a
habe, wo ist dann da ein Gleichungssystem, bzw. wie löst man das?!
Im meinen Buch steht der Ansatz:
F'(x) = - e ==>
x0 = [mm] \bruch{1}{1+e}
[/mm]
mit f(x0)= [mm] \bruch{1}{1+e} [/mm] + ln(1-e)
Aber das verstehe ich agr nicht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 19.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masaky!
Hast Du denn schon die Ableitung $f'(x)_$ bestimmt? Denn dann kann man auch erst gleichsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 19.01.2010 | | Autor: | Masaky |
Hm okay, aber das was im Buch steht, verwirrt mich total..
Also f'(x) = 1 [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
f'(a)= 1 - [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = m
- [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = m -1
a = [mm] \bruch{1}{m-1}
[/mm]
t(a) = f(a) = m * [mm] \bruch{1}{m-1}
[/mm]
Hm aber was bringt mir das?!
UND was hat das mit das im Buch zu tun?
Das steht noch ein andere Ansatz:
[mm] \bruch{f(x)-0}{x-0} [/mm] = f'(x)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Di 19.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masaky!
Du kannst doch wie folgt zusammenfassen:
[mm] $$\bruch{1}{x}*x [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 19.01.2010 | | Autor: | Masaky |
AH OKAY; also die erste Ableitung ist jetzt klar, aber jetzt hab ich Probleme mit der 2....
f'(x) =- [mm] \bruch{4*ln(x)+4}{x^2}
[/mm]
denn würde ich so sagen:
f''(x)= [mm] \bruch{2x*4*ln(x)- 4*\bruch{1}{x}}{x^4}
[/mm]
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> AH OKAY; also die erste Ableitung ist jetzt klar, aber
> jetzt hab ich Probleme mit der 2....
>
> f'(x) =- [mm]\bruch{4*ln(x)+4}{x^2}[/mm]
>
> denn würde ich so sagen:
>
> f''(x)= [mm]\bruch{2x*4*ln(x)- 4*\bruch{1}{x}}{x^4}[/mm]
>
> stimmt das so?
Nein. Wie hast Du gerechnet ? Tipp: Quotientenregel
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 19.01.2010 | | Autor: | Masaky |
Das sollte eigentlich die Quotietenregel sein :D:D
Also die geht ja [mm] \bruch{u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)}{u(x)^2}
[/mm]
und [mm] f(x)=\bruch{v(x)}{u(x)} [/mm] = [mm] \bruch{-4*ln(x)+4}{x^2}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{2x*-4*ln(x)+4-x^2*-4\bruch{1}{x}}{x^4}
[/mm]
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Hallo Masaky,
> Das sollte eigentlich die Quotietenregel sein :D:D
>
> Also die geht ja [mm]\bruch{u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)}{u(x)^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist ein Kessel Buntes:
Für [mm] $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ [/mm] lautet sie [mm] $f'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x)\cdot{}v'(x)}{(v(x))^2}$
[/mm]
Für [mm] $g(x)=\frac{v(x)}{u(x)}$ [/mm] dann entsprechend [mm] $g'(x)=\frac{v'(x)\cdot{}u(x)-v(x)\cdot{}u'(x)}{(u(x))^2}$
[/mm]
>
> und [mm]f(x)=\bruch{v(x)}{u(x)}[/mm] = [mm]\bruch{-4*ln(x)+4}{x^2} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Naja, das ist ja schon $f'(x)$
>
> f'(x) = [mm]\bruch{2x*-4*ln(x)+4-x^2*-4\bruch{1}{x}}{x^4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du solltest Klammern setzen und wieso drehst du die Reihenfolge der Summanden im Zähler um?
Das fürft doch zu nem Vorzeichenfehler.
Besser: Mit $f'(x)=\frac{-4\ln(x)+4}{x^2}=\frac{v(x)}{u(x)}$ ist $f''(x)=\frac{\overbrace{-4\cdot{}\frac{1}{x}}^{v'(x)}\cdot{}\overbrace{x^2}^{u(x)}-\left[\overbrace{(-4\ln(x)+4)}^{v(x)}\cdot{}\overbrace{2x}^{u'(x)}\right]}{\underbrace{x^4}_{(u(x))^2}$
Nun das noch zusammenfassen ...
LG
schachuzipus
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