Untersuchung ob Fkt. injektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Do 10.11.2005 | | Autor: | SusiQ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Brauche unbedingt Hilfe fuer folgende Aufgabe:
f sei die Abbildung von [mm] \IN \times \IN [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit f(m,n) = [mm] 2^m*3^n. [/mm] Ich soll zeigen, dass f injektiv ist.
Ich bin mir ueber die Definition der Injektivitaet bewusst, weiss dass ich f(x1)=f(x2) setzen muesste, aber wie mache ich das hier??? Bin einfach nich auf den Schluss gekommen zu zeigen dass diese Fkt. injektiv is.
Bitte um Hilfe und danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Susi!
Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl.
Wenn du es dir elementarer überlegen willst, dann mache es mal mit Teilbarkeitsargumenten...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Do 10.11.2005 | | Autor: | SusiQ |
hey Stefan,
also reicht es wenn ich schreibe, dass fuer Injektivitaet gelten muss
f(m1,n1) = f(m2,n2) also 2^m1*3^n1 = 2^m2*3^n2
also da 3 und 2 Primfaktoren sind, muss (m1,n1) = (m2,n2), es gibt also keine abbildung die mehrfach belegt werden kann und somit f injektiv ist.
Ist das so richtig formuliert?
Danke fuer deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Da die sich wichtig machenden fünfsemestrigen Tutoren (ich gehe dabei von mir aus als damals sich mit Vordiplom 1,0 unheimlich toll vorkommenden Korrektoren  ) vermutlich eine Lösung der Art ("Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung") nicht akzeptieren werden, solltest du es wie folgt machen:
Aus [mm] $f(m_1,n_1)=f(m_2,n_2)$ [/mm] folgt
[mm] $2^{m_1} \cdot 3^{n_1} [/mm] = [mm] 2^{m_2} \cdot 3^{n_2}$,
[/mm]
also:
[mm] $2^{m_1-m_2} [/mm] = [mm] 3^{n_2-n_1}$.
[/mm]
Da $2$ und $3$ relativ prim sind, geht dies nur im Falle [mm] $m_1-m_2=0$ [/mm] und [mm] $n_2-n_1=0$, [/mm] also [mm] $(m_1,n_1) [/mm] = [mm] (m_2,n_2)$. [/mm]
Gib einfach beide Lösungen an, auch die mit der Primfaktorzerlegung...
Liebe Grüße
Stefan
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