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Hallo !
Folgende Aufgabenstellung:
Gegeben sind Funktionen [mm] f_{k} [/mm] mit [mm] f_{k}(x)=(e^x-k)².
[/mm]
a.) Untersuche die Funktionen [mm] f_{k}. [/mm] Gib Typen des Graphen an.
b.) Für welche k ist 0 Wendestelle von [mm] f_{k}?
[/mm]
Ich habe mit a.) angefangen:
Definitionsbereich = [mm] \IR
[/mm]
Hochachsenschnittpunkt S ( 0;(1-k)²)
Nullstellen N (lnk;0) --- ln ist der natürliche Logarithmus
Extremstellen gibt es nicht
Wendestellen gibt es nicht
Was ist mit Typen des Graphen gemeint?
Teilaufgabe b.) wäre meinen Lösungen nach, dass 0 nie Wendestelle ist.
Das kann irgendwie nicht sein...
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, bzw. vielleicht meinen Fehler findet, so dass ich da noch ein mal ansetzen kann.
Danke im voraus,
Stephi
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Hi, Stephi,
> Gegeben sind Funktionen [mm]f_{k}[/mm] mit [mm]f_{k}(x)=(e^x-k)².
[/mm]
> a.) Untersuche die Funktionen [mm]f_{k}.[/mm] Gib Typen des
> Graphen an.
> b.) Für welche k ist 0 Wendestelle von [mm]f_{k}?
[/mm]
>
> Ich habe mit a.) angefangen:
>
> Definitionsbereich = [mm]\IR
[/mm]
> Hochachsenschnittpunkt S ( 0;(1-k)²)
Beides richtig!
> Nullstellen N (lnk;0) --- ln ist der natürliche
> Logarithmus
Gilt natürlich nur für k>0; für k<0 und auch für k=0 gibt es keine Nullstellen.
Zudem ist für k>0 die jeweilige Nullstelle eine Berührstelle mit der x-Achse (wegen [mm] (...)^{2}!) [/mm] und da Quadrate immer [mm] \ge [/mm] 0 sind, muss dort schon mal ein Tiefpunkt liegen: T(ln(k);0) für k > 0.
> Extremstellen gibt es nicht
Siehe oben: Für k>0 gibt es mindestens bei ln(k) einen Tiefpunkt!
Die Ableitung ist: [mm] f'(x)=2(e^{x}-k)*e^{x} [/mm] (Kettenregel!)
Und die wird nur dann =0, wenn die Klammer =0 ist. Demnach gibt's für k [mm] \le [/mm] 0 wirklich keine Extrempunkte und für k>0 nur den oben erwähnten Tiefpunkt!
> Wendestellen gibt es nicht
Wieder nur richtig für k [mm] \le [/mm] 0.
Für k>0 gibt es einen WP:
f''(x) = [mm] 2*(2*e^{x}-k)*e^{x} [/mm] (Produktregel!)
f''(x) = 0 (für k>0) <=> [mm] x=ln(\bruch{k}{2}) [/mm]
NS von f'' mit Vorzeichenwechsel, daher Wendepunkt.
(y-Koordinate selbst berechnen!)
>
> Was ist mit Typen des Graphen gemeint?
Das weiß ich leider auch nicht! Vielleicht sollst Du einfach die unterschiedlichen Typen für k>0 (mit NS, Tiefpunkt und WP) und k [mm] \le [/mm] 0 (nichts von alledem) angeben bzw. skizzieren.
Möglich wäre aber auch: Waagrechte Asymptote für x [mm] \to -\infty, [/mm] keine Asymptote für x [mm] \to +\infty. [/mm] Naja!
>
> Teilaufgabe b.) wäre meinen Lösungen nach, dass 0 nie
> Wendestelle ist.
Wegen meiner obigen Rechnung liegt der WP bei x= [mm] ln(\bruch{k}{2}) [/mm]
Dies aber ist =0, wenn k=2 ist.
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich hab's soweit verstanden, aber ich bin mir bei meiner dritten Ableitung nicht sicher.
Meine lautet: [mm] 3e^x(2-k). [/mm] Ist die richtig?
Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Do 24.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephi!
> Meine lautet: [mm]3e^x(2-k).[/mm] Ist die richtig?
Das ist leider falsch!
Wie lautet denn Deine 2. Ableitung? Und wie hast Du diese denn ermittelt?
Dafür mußt Du entweder die  Produktregel anwenden oder die 1. Ableitung zuvor etwas umformen ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
f(x) = [mm] (e^x-k)^2
[/mm]
f'(x) = [mm] 2e^x(e^x-k) [/mm] (durch Kettenregel)
f''(x) [mm] =2e^x(2(e^x-k)) [/mm] (durch Produktregel)
wenn ich jetzt f''(x) in [mm] 4e^x(e^x-k) [/mm] umforme und dann mit Hilfe der Produktregel die dritte Ableitung bilde, lautet diese:
f'''(x) = [mm] 4e^x(e^x-k)+4e^x*e^x
[/mm]
= [mm] 4e^x(2e^x-k)
[/mm]
Jetzt richtig?
Stephi
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Hallo Stephi3103,
Deine zweite Ableitung sieht nich korrekt aus. Loddar hatte sie Dir bereits mitgeteilt:
$ f''(x) = [mm] 2\cdot{}e^{x}\cdot{}(2\cdot{}e^{x}-k) [/mm] $
P.S.: Die dritte Ableitung solltest Du noch einmal überprüfen.
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Hallo,
> Deine zweite Ableitung sieht nich korrekt aus. Loddar
> hatte sie Dir bereits mitgeteilt:
> [mm]f''(x) = 2\cdot{}e^{x}\cdot{}(2\cdot{}e^{x}-k)[/mm]
Das wäre ja das gleiche wie [mm] 4e^x(1-k), [/mm] oder?
Dann ist die dritte Abl. also [mm] 4e^x(2-k) [/mm] (durch Produktregel)
Stephi
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Hallo Stephi,
der Faktor 2 in der Klammer steht nur bei $ [mm] e^x [/mm] $ und nicht bei dem k. Das k in der Klammer hat überhaupt keine Faktoren, weshalb Du auch nichts weiter ausklammern kannst. In der Klammer steht eine algebraische Summe, also kannst Du nur Ausdrücke ausklammern, die in allen Summanden vorhanden sind.
Gruß Einstein
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Heisst das, dass meine Ableitungen falsch sind? 
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Hallo Stephi,
Deine erste Ableitung war OK und die zweite Ableitung lautete:
$ f''(x) = [mm] 2\cdot{}e^{x}\cdot{}(2\cdot{}e^{x}-k) [/mm] $
Nur solltest Du jetzt nicht versuchen, noch etwas auszuklammern, wo nichts mehr zum Ausklammern vorhanden ist.
Auf der Basis der gerade genannten zweiten Ableitung kannst Du mit der Produktregel die dritte Ableitung ermitteln.
Gruß Jürgen (Einstein)
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Hallo,
so langsam verzweifel ich
Jetzt ist meine dritte Ableitung:
f'''(x) = [mm] 2e^x(3(e^x-k))
[/mm]
Ist diese richtig? Wenn nein, kannst du mir bitte die richtige nennen?
Danke,
Stephi
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Hallo Stephi,
die dritte Ableitung lautet bei mir:
$ f'''(x) = 2 [mm] e^x(4 e^x-k) [/mm] $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Do 24.03.2005 | | Autor: | Stephi3103 |
Hi,
endlich komm ich auch auf
f'''(x) = [mm] 2e^x(4e^x-k) [/mm]
Danke für die Geduld
Stephi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Do 24.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Stephi,
hast Du was bemerkt? Die 3. Ableitung bringt oft größere rechnerische Probleme als die ersten beiden (obwohl's hier sogar noch nicht mal gar so schlimm ist!); zudem kostet das immens Zeit, die Dir in einer Prüfung dann an anderer Stelle fehlt!
Und wofür das alles? Nur um zu bestätigen, dass ein zuvor berechneter Wert wirklich die x-Koordinate eines Wendepunkts ist! Riesenaufwand, der sich praktisch nie lohnt! Daher arbeite (wie in meinem Vorschlag) lieber mit der Argumentation: Nullstellen von f'' mit Vorzeichenwechsel sind immer Wendestellen, Nullstellen ohne Vzw. aber niemals! Geht schneller und ist genauso richtig!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Do 24.03.2005 | | Autor: | Stephi3103 |
Hi
> hast Du was bemerkt? Die 3. Ableitung bringt oft größere
> rechnerische Probleme als die ersten beiden (obwohl's hier
> sogar noch nicht mal gar so schlimm ist!); zudem kostet das
> immens Zeit, die Dir in einer Prüfung dann an anderer
> Stelle fehlt!
> Und wofür das alles? Nur um zu bestätigen, dass ein zuvor
> berechneter Wert wirklich die x-Koordinate eines
> Wendepunkts ist! Riesenaufwand, der sich praktisch nie
> lohnt! Daher arbeite (wie in meinem Vorschlag) lieber mit
> der Argumentation: Nullstellen von f'' mit
> Vorzeichenwechsel sind immer Wendestellen, Nullstellen ohne
> Vzw. aber niemals! Geht schneller und ist genauso
> richtig!
Ich lass mich aber im Abi mündlich in Mathe prüfen und muss das alles "vorführen" an der Tafel. Die wollen alles ganz genau haben. Außerdem muss ich das so machen, wie wir das in der Schule machen.
Trotzdem DANKE
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