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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{3}}{3^{k}} [/mm] |
Hallo.
Uns wurden die Konvergenzkriterien soweit beigebracht, aber ich habe nicht ganz verstanden, ob es genügt, eins der möglichen Kriterien anzuwenden, oder ob immer alle möglichen Kriterien verwendet werden müssen?
Wie kommen die am Ende auf [mm] $\bruch{33}{8}$?
[/mm]
Vielen Dank.
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{k^{3}}{3^{k}}}=\bruch{\wurzel[k]{k^{3}}}{\wurzel[k]{3^{k}}}=\bruch{(\wurzel[k]{k})^{3}}{3} \to \bruch{1}{3}
[/mm]
Damit konvergiert die Folge [mm] \left( \wurzel[k]{\bruch{k^{3}}{3^{k}}} \right) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] d.h. es folgt:
[mm] \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\wurzel[k]{\bruch{k^{3}}{3^{k}}}=\bruch{1}{3} [/mm] < 1
Nach Wurzelkriterium liegt also Konvergenz vor.
Quotientenkriterium: Da für alle [mm] $k\in\IN [/mm] : [mm] a_{k}=\bruch{k^{3}}{3^{k}}\not=0$, [/mm] ist das Quotientenkriterium anwendbar und es gilt:
[mm] \left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|=\bruch{(k+1)^{3}*3^{k}}{3^{k+1}*k^{3}}=\bruch{1}{3}*\left( \bruch{k+1}{k} \right)^{3}=\bruch{1}{3}*\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{3} \to \bruch{1}{3} \Rightarrow \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|=\bruch{1}{3}<1 \Rightarrow [/mm] die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium.
Ohne Beweis: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{3}}{3^{k}}=\bruch{33}{8}
[/mm]
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> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{3}}{3^{k}}[/mm]
> Hallo.
> Uns wurden die Konvergenzkriterien soweit beigebracht,
> aber ich habe nicht ganz verstanden, ob es genügt, eins
> der möglichen Kriterien anzuwenden, oder ob immer alle
> möglichen Kriterien verwendet werden müssen?
Hallo,
nein, ein einziges Kriterium, aus dem man Konvergenz folgert, reicht.
> Wie kommen die am Ende auf [mm]\bruch{33}{8}[/mm]?
Spontan aus dem Handgelenk weiß ich das nicht - aber ich verstehe es so, daß diese Info nur der Befriedigung einer eventuellen Neugier dienen soll und man das nicht ausrechnen muß.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank.
>
> Wurzelkriterium:
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> [mm]\wurzel[k]{\bruch{k^{3}}{3^{k}}}=\bruch{\wurzel[k]{k^{3}}}{\wurzel[k]{3^{k}}}=\bruch{(\wurzel[k]{k})^{3}}{3} \to \bruch{1}{3}[/mm]
>
> Damit konvergiert die Folge [mm]\left( \wurzel[k]{\bruch{k^{3}}{3^{k}}} \right)[/mm]
> gegen [mm]\bruch{1}{3},[/mm] d.h. es folgt:
>
> [mm]\mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\wurzel[k]{\bruch{k^{3}}{3^{k}}}=\bruch{1}{3}[/mm]
> < 1
>
> Nach Wurzelkriterium liegt also Konvergenz vor.
>
> Quotientenkriterium: Da für alle [mm]k\in\IN : a_{k}=\bruch{k^{3}}{3^{k}}\not=0[/mm],
> ist das Quotientenkriterium anwendbar und es gilt:
>
> [mm]\left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|=\bruch{(k+1)^{3}*3^{k}}{3^{k+1}*k^{3}}=\bruch{1}{3}*\left( \bruch{k+1}{k} \right)^{3}=\bruch{1}{3}*\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{3} \to \bruch{1}{3} \Rightarrow \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|=\bruch{1}{3}<1 \Rightarrow[/mm]
> die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium.
>
> Ohne Beweis:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{3}}{3^{k}}=\bruch{33}{8}[/mm]
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Vielen Dank, Angela. Der Bruch am Ende ist dann wohl nicht so wichtig.
Zu dem Thema selbst aber noch eine weitere Frage, trotz der Gefahr, als Konvergenz-Dummy enttarnt zu werden:
Ist es für das Überprüfen auf Konvergenz wirklich notwendig, eines der möglichen Kriterien anzuwenden, oder genügt es nicht einfach, anhand des Satzes [mm] "$\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}$ [/mm] ist absolut konvergent, wenn [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\left| a_{k} \right|$ [/mm] konvergiert und es gilt [mm] $\left| \summe_{k=1}^{\infty}a_{k} \right|\le\summe_{k=1}^{\infty}\left| a_{k} \right|$" [/mm] die absolute Konvergenz zu beweisen, um damit automatisch die Konvergenz zu erhalten?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Dieser Ansatz ist durchaus korrekt. Jedoch wird es nicht immer einfach sein, die absolute Konvergenz zu zeigen, um daraus dann die "normale" Konvergenz zu folgern.
Gruß
Loddar
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Danke, Loddar.
Ich bin die Aufgabe nochmals durchgegangen und ich bin mir nicht sicher, ob ich das mit dem [mm] $\limsup$ [/mm] richtig verstanden habe.
- Muss ich den [mm] $\limsup$ [/mm] bzw. den [mm] $\liminf$ [/mm] nur nach dem Anwenden des Quotienten- oder des Wurzelkriteriums am Ende notieren?
- Uns wurde die Folgerung [mm] "$\mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\wurzel[k]{\left| a_{k} \right|}<1$ [/mm] absolut konvergent" beigebracht.
Da ja [mm] $\bruch{1}{3}<1$ [/mm] ist, liegt doch in dieser Aufgabe absolute Konvergenz vor?
Mich wundert es nur, warum das nicht erwähnt wurde...
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 So 21.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke, Loddar.
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> Ich bin die Aufgabe nochmals durchgegangen und ich bin mir
> nicht sicher, ob ich das mit dem [mm]\limsup[/mm] richtig verstanden
> habe.
>
> - Muss ich den [mm]\limsup[/mm] bzw. den [mm]\liminf[/mm] nur nach dem
> Anwenden des Quotienten- oder des Wurzelkriteriums am Ende
> notieren?
>
> - Uns wurde die Folgerung
> "[mm]\mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\wurzel[k]{\left| a_{k} \right|}<1[/mm]
> absolut konvergent" beigebracht.
> Da ja [mm]\bruch{1}{3}<1[/mm] ist, liegt doch in dieser Aufgabe
> absolute Konvergenz vor?
Na und? Das hast du ja vorher nicht gewusst.
Also hast du im konkreten Fall doch erst einmal das Wurzelkriterium benötigt.
Gruß Abakus
> Mich wundert es nur, warum das nicht erwähnt wurde...
>
>
> Gruß
> el_grecco
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