Unters. Wertebereich/Bildmenge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Ich verstehe irgendwie nicht so ganz den Unterschied, zwischen dem Wertebereich und der Bildmenge einer Funktion.
Es gibt ja bezüglich Funktionen:
-Definitionsbereich (Das was wir in die Funktion reinschmeißen)
-Wertebereich
-Bildmenge (Das was wir am Ende rausbekommen)
Wozu ist jetzt der Wertebereich da? Der Wertebereich kann ja nun auch Werte enthalten, die von der Funktion nicht getroffen werden. Das heißt, dass mein Wertebereich nie eindeutig ist?
Beispiel1:
Gegeben ist die Funktion f: x+1
Definitionsbereich ist D={1, 2, 3}
Bildmenge ist B={2, 3, 4}
Was ist nun hier die Wertemenge? Die Wertemenge muss ja auf jedenfall schonmal {2, 3, 4} enthalten, KANN aber auch mehr enthalten?! Es wäre also auch richtig hier jetzt die verschiedensten Wertebereiche für f anzugeben, solang sie mind. {2, 3, 4} enthält?
Beispiel 2:
Gegeben ist die Funktion g: [mm] \bruch{\wurzel[4]{3x^6+3x^2-3}}{x-1}
[/mm]
Geben Sie einen möglichst großen Definitionsbereich mit dazugehöriger Wertemenge und Bildmenge an.
Definitionsbereich umfasst alle Reellen Zahlen, für die der Nenner nicht 0 wird und der Wert unter der Wurzel positiv bleibt. (Kann man jetzt ausrechnen, aber mir ist ja klar wie das funktioniert)
Wertebereich kann man ja beliebig angeben, solang er die eigentliche Bildmenge enthält. Also sage ich, dass der Wertebereich ganz [mm] \IR [/mm] umfasst.
Wie komme ich nun auf die Bildmenge?
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moin,
> Hallo,
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> Ich verstehe irgendwie nicht so ganz den Unterschied,
> zwischen dem Wertebereich und der Bildmenge einer
> Funktion.
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> Es gibt ja bezüglich Funktionen:
> -Definitionsbereich (Das was wir in die Funktion
> reinschmeißen)
> -Wertebereich
> -Bildmenge (Das was wir am Ende rausbekommen)
>
> Wozu ist jetzt der Wertebereich da? Der Wertebereich kann
> ja nun auch Werte enthalten, die von der Funktion nicht
> getroffen werden. Das heißt, dass mein Wertebereich nie
> eindeutig ist?
>
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> Beispiel1:
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> Gegeben ist die Funktion f: x+1
> Definitionsbereich ist D={1, 2, 3}
> Bildmenge ist B={2, 3, 4}
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> Was ist nun hier die Wertemenge? Die Wertemenge muss ja auf
> jedenfall schonmal {2, 3, 4} enthalten, KANN aber auch mehr
> enthalten?! Es wäre also auch richtig hier jetzt die
> verschiedensten Wertebereiche für f anzugeben, solang sie
> mind. {2, 3, 4} enthält?
Jo, das ist durchaus möglich.
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> Beispiel 2:
>
> Gegeben ist die Funktion g:
> [mm]\bruch{\wurzel[4]{3x^6+3x^2-3}}{x-1}[/mm]
> Geben Sie einen möglichst großen Definitionsbereich mit
> dazugehöriger Wertemenge und Bildmenge an.
>
> Definitionsbereich umfasst alle Reellen Zahlen, für die
> der Nenner nicht 0 wird und der Wert unter der Wurzel
> positiv bleibt. (Kann man jetzt ausrechnen, aber mir ist ja
> klar wie das funktioniert)
>
> Wertebereich kann man ja beliebig angeben, solang er die
> eigentliche Bildmenge enthält. Also sage ich, dass der
> Wertebereich ganz [mm]\IR[/mm] umfasst.
Hier siehst du jetzt einen der Gründe, wieso man Wertebereich und Bildmenge unterscheidet.
Ein Wertebereich, der das Bild sicher umfasst, ist oft leicht anzugeben, aber das Bild tatsächlich zu berechnen ist deutlich schwieriger.
Solange dir nun die Aussage "es kommen immer reelle Zahlen raus" reicht und du gar nicht genauer wissen möchtest was für reelle Zahlen ist so ein Wertebereich ganz praktisch.
Du könntest übrigens auch [mm] $\IC$ [/mm] als Wertebereich nehmen, dann könntest du deinen Definitionsbereich größer kriegen, da auch negative unter der Wurzel stehen dürfen. Du könntest sogar noch größere (bzgl. Inklusion) Mengen als [mm] $\IC$ [/mm] ins Spiel bringen, deshalb sollte in der Aufgabe irgendwo eine obere Grenze angegeben sein, sowas wie "sowohl Def.bereich als auch Wertebereich müssen Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] sein."
> Wie komme ich nun auf die Bildmenge?
Jenachdem wie du den Definitionsbereich wählst geht das natürlich unterschiedlich.
Nehmen wir mal an, dass der Wertebereich [mm] $\IR$ [/mm] sein soll, dass also nichts negatives unter der Wurzel stehen darf.
Dann ist deine Funktion für $1 [mm] \neq [/mm] x$ stetig.
Solltest du also zwei Punkte finden so kannst du den Zwischenwertsatz anwenden um zu sagen, dass auch alle dazwischen getroffen werden.
Deshalb wäre es eine gute Idee, einen "größten" und einen "kleinsten" Funktionswert zu finden (das ganze in Anführungsstrichen, da die nicht zwangsläufig existieren müssen).
Hierfür würde ich dir empfehlen deine Funktion auf Verhalten für $x [mm] \to \infty$, [/mm] an der Polstelle und an allen weiteren Brüchen im Definitionsbereich (wenn du das mit "unter der Wurzel nix negatives" ausrechnest dürften da noch ein paar interessante Stellen reinkommen) zu untersuchen.
Damit dürftest du schon sehr viele Werte finden, die im Bild liegen.
Die verbleibenden kannst du dann ggf. mit Monotonie oder ähnlichem bearbeiten.
Wie du siehst ist die Bestimmung des Bildes im Allgemeinen gar nicht so leicht.
Je nachdem wie deine Funktion aussieht kann das sogar sehr kompliziert werden.
Das ist wie gesagt auch ein Grund, wieso man meist einen Wertebereich angibt und die Frage nach dem Bild auslagert oder unter Umständen überhaupt nicht beantwortet.
lg
Schadowmaster
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