Unterring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich hab z.B.: R := [mm] \{ \pmat{ a & b \\ c & d } | a,b,c,d \in 2 \IZ\}
[/mm]
Ich will zeigen, dass es sich bei R um einen Ring handelt, der nicht kommutativ ist und kein Einselemnt hat. |
Ich habe gezeigt das R ein Unterring von [mm] M_{2 \times 2} [/mm] ist, indem ich zeigte:
-) A-B [mm] \in [/mm] R , [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in [/mm] R
-) A*B [mm] \in [/mm] T, [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in [/mm] R
-) R [mm] \not= \{\}
[/mm]
Die Nichtkommutativität kann ich nachweisen mit einem Bsp.(Würde sie auch ohne Bsp aus der Nichtkommutativität von [mm] M_{2 \times 2} [/mm] folgen?
Das Einselemt der [mm] M_{2 \times 2} [/mm] matrizen ist [mm] I_2, [/mm] aber [mm] I_2 \not\in [/mm] R. Folgt daraus schon dass R kein Einselement hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ja also ich würde ruhig nochmal ein Beispiel angeben, wenn du dir unsicher bist. Du findest bestimmt schnell eins. Ansonsten kannst du auch sagen, dass es Matrizen A, B mit [mm] $AB\not= [/mm] BA$ in [mm] $M_{2\times 2}$ [/mm] gibt. Rechnest du beide Seiten *2*2, wird das zu [mm] $(2A)(2B)\not= [/mm] (2B)(2A)$, wobei $2A$ und $2B$ aus $R$ sind.
Und ja, [mm] $I_2\notin [/mm] R$, also gibt es kein neutrales Element bezüglich *.
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