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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:33 Di 29.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Hi Ihr!
Ich bin gerade mal dabei, meine Unterlagen alle durchzugehen und so noch einige Unklarheiten zu beseitigen. Ich hätte da jetzt einmal eine Frage zu einem Unterraum:
Sei K Körper, I eine beliebige Menge. Sei weiter [mm] $K^{(I)} [/mm] := [mm] \{x\in K^{I} | x(i) \neq 0$ nur für endlich viele $i \in I\}$ [/mm] die Menge der Funktionen $x:I [mm] \to [/mm] K$ auf I mit Werten in K, für welche die Teilmenge [mm] \{i \in I | x(i) \neq 0\} [/mm] von I eine endliche ist. Dann ist [mm] K^{(I)} [/mm] ein Unterraum von [mm] K^I
[/mm]
Definiert wurde dabei [mm] K^I [/mm] = Abb(I, K), also alle Abbildungen der Menge I in die Menge K, wobei für $x, y [mm] \in K^I$ [/mm] gilt:
$x(i) + y(i) = (x+y)(i)$ für $i [mm] \in [/mm] I$ und
$(ax)(i) = ax(i)$
Da es mir schon ziemlich schwer fällt, mir den Vektorraum [mm] K^I [/mm] "vorzustellen", tue ich mich da gerade ziemlch schwer. Mir ist also nicht ganz klar, wieso das ganze ein Unterraum ist.
Ich müsste ja im Prinzip drei Sachen nachweisen:
- [mm] K^{(I)} \neq [/mm] {} (ist das identisch mit $0 [mm] \in K^{(I)}$?)
[/mm]
- x, y [mm] \in K^{(I)} \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in K^{(I)}
[/mm]
- c [mm] \in [/mm] K, y [mm] \in K^{(I)} \Rightarrow [/mm] cx [mm] \in K^{(I)}
[/mm]
Kann ich mir [mm] K^{(I)} [/mm] irgendwie vorstellen, dass es das gleiche ist wie [mm] K^I, [/mm] nur dass ab einem gewissen Punkt alles auf 0 abgebildet wird?
Sehe ich das richtig, dass wenn I endlich ist, dass dann gilt [mm] K^I [/mm] = [mm] K^{(I)} [/mm] ? Ist es in diesem Fall dann auf Grund dieser Tatsache schon ein Unterraum?
Würde mir das Beispiel schon gerne ziemluch klar machen, aber irgendwie hängt es da grad ein wenig bei mir. Vll. kann mir ja jemand ein wenig dabei helfen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 31.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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