Unterraum überprüfungskontroll < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:02 Mi 27.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 9. Es soll angegeben werden, welche der Teilmengen Unterräume der Vektorräume sind. :
i) [mm] $\{\vektor{x\\x^{2}+x}| x \in \IR \} \subset \IR^{2}$
[/mm]
ii)
[mm] $\{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \} \cup \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \} \subset \IR^{2} [/mm] $
iii)$ [mm] \{p \in P_{n} | p(2) = 0 \} \subset P_{n}$,$ P_{n}$ [/mm] Raum vom Polynom Grad [mm] $\le [/mm] n$ |
Hallo,
hier: https://matheraum.de/read?i=724556 wurde das ja schon einmal durchgeführt. Ich habe die Definition mit dem 0 Element nicht explizit im Skript vorgegeben, daher lass ich das auch aus.
Ich habe überprüft, ob der Unterraum für die Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
i)
Prüfung Addition:
[mm] $\vektor{x\\x^{2}+x} [/mm] + [mm] \vektor{y\\y^{2}+y} [/mm] = [mm] \vektor {x+y\\ x^{2}+y^{2}}$ [/mm]
Gegenbeispiel auf Grund der Skalarmultiplikation mit y. Also kein Unterraum weil [mm] $x^{2}y^{2}$ [/mm] nicht in [mm] $\IR^{2}$
[/mm]
ii) Das Vereinigungssymbol verwirrt hier.
Addition:
[mm] $(\lambda \vektor{1 \\-1 } [/mm] + [mm] \lamba \vektor{x \\ y } \cup \lambda \vektor{2 \\ -3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{ x \\ y}$
[/mm]
also kein Unterraum deswegen?
iii)
also alle Polynome in die man 2 einsetzen kann und die dann 0 geben,
Addition:
[mm] $p_{1}(2)=0 [/mm] , [mm] p_{2}(2)=0 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow p_{1}(2)+p_{2}(2)=0$ [/mm]
Sk. Multiplikation:
[mm] $\lambda p_{1}(2) [/mm] = 0 $
also ist das ein Unterraum
Stimmen meine Begründungen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:44 Mi 27.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> 9. Es soll angegeben werden, welche der Teilmengen
> Unterräume der Vektorräume sind. :
>
> i) [mm]\{\vektor{x\\x^{2}+x}| x \in \IR \} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> ii)
> [mm]\{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \} \cup \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \} \subset \IR^{2}[/mm]
>
>
> iii)[mm] \{p \in P_{n} | p(2) = 0 \} \subset P_{n}[/mm],[mm] P_{n}[/mm] Raum
> vom Polynom Grad [mm]\le n[/mm]
> Hallo,
>
> hier: https://matheraum.de/read?i=724556 wurde das ja
> schon einmal durchgeführt. Ich habe die Definition mit dem
> 0 Element nicht explizit im Skript vorgegeben, daher lass
> ich das auch aus.
>
> Ich habe überprüft, ob der Unterraum für die Addition
> und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
>
> i)
> Prüfung Addition:
>
> [mm]\vektor{x\\x^{2}+x} + \vektor{y\\y^{2}+y} = \vektor {x+y\\ x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
[mm]\vektor{x\\x^{2}+x} + \vektor{y\\y^{2}+y} = \vektor {x+y\\ x^{2}+y^{2}+x+y} \not= \vektor {x+y\\ (x+y)^{2}+(x+y)} [/mm]
> Gegenbeispiel auf Grund der Skalarmultiplikation mit y.
Ja.
Aber da
[mm]y*\vektor{x\\x^{2}+x} = \vektor{yx\\yx^{2}+yx} \not= \vektor {yx\\ (yx)^{2}+yx}[/mm], ist folgende Begründung
> Also kein Unterraum weil [mm]x^{2}y^{2}[/mm] nicht in [mm]\IR^{2}[/mm]
nicht gut.
>
> ii) Das Vereinigungssymbol verwirrt hier.
>
> Addition:
>
> [mm](\lambda \vektor{1 \\-1 } + \lamba \vektor{x \\ y } \cup \lambda \vektor{2 \\ -3} + \lambda \vektor{ x \\ y}[/mm]
>
> also kein Unterraum deswegen?
Es sollen zwei Elemente aus [mm]\{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \} \cup \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \} \subset \IR^{2}[/mm] addiert werden, z.B.:
[mm] \vektor{1 \\-1 } + \vektor{2 \\ -3} = \vektor{ 3 \\ -4}[/mm] [mm] ($\lambda$ [/mm] = 1, [mm] $\mu$ [/mm] = 1).
Ist [mm] $\vektor{ 3 \\ -4} \in \{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \} \cup \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \} \subset \IR^{2}$?
[/mm]
>
> iii)
> also alle Polynome in die man 2 einsetzen kann und die
> dann 0 geben,
>
> Addition:
>
> [mm]p_{1}(2)=0 , p_{2}(2)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow p_{1}(2)+p_{2}(2)=0[/mm]
>
> Sk. Multiplikation:
> [mm]\lambda p_{1}(2) = 0[/mm]
>
> also ist das ein Unterraum
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
>
> Stimmen meine Begründungen?
Nein, ausgenommen bei (iii).
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 27.10.2010 | | Autor: | kushkush |
> Ist $ [mm] \vektor{ 3 \\ -4} \in \{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \} \cup \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \} \subset \IR^{2} [/mm] $
Ja. Also ist es doch ein Unterraum?
bei [mm] $\vektor{x\\x^{2}+x}$ [/mm] wähle ich als Skalar dann [mm] $y^{2}$, [/mm] was meine alte Begründung dann wieder richtig macht?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 28.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Ist [mm]\vektor{ 3 \\ -4} \in \{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \} \cup \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> Ja. Also ist es doch ein Unterraum?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, [mm]\vektor{ 3 \\ -4} \notin \{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \} \cup \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \}[/mm].
Wäre [mm] $\vektor{ 3 \\ -4} \in \{\lambda \vektor{1\\-1} | \lambda \in \IR \}$, [/mm] müsste nach der 1. Komponente von [mm] $\vektor{ 3 \\ -4}$ $\lambda [/mm] = 3$ sein, dann wird aber die 2. Komponente von [mm] $\vektor{ 3 \\ -4}$ [/mm] -3. Die 2. Komponente von [mm] $\vektor{ 3 \\ -4}$ [/mm] ist aber -4.
Wäre [mm] $\vektor{ 3 \\ -4} \in \{ \lambda \vektor{2\\-3} | \lambda \in \IR \}$, [/mm] müsste nach der 1. Komponente von [mm] $\vektor{ 3 \\ -4}$ $\lambda [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] sein, dann wird aber die 2. Komponente von [mm] $\vektor{ 3 \\ -4}$ $-\bruch{9}{2}. [/mm] Die 2. Komponente von [mm] $\vektor{ 3 \\ -4}$ [/mm] ist aber -4.
>
>
> bei [mm]\vektor{x\\x^{2}+x}[/mm] wähle ich als Skalar dann [mm]y^{2}[/mm],
Nein, damit lässt sich das nicht beheben. Es muss für jeden Skalar y gelten.
Ausserdem geht schon die Addition zweier Vektoren schief.
> was meine alte Begründung dann wieder richtig macht?
>
>
> Danke
>
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Sa 30.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ja stimmt, [mm] $x^{2}+y^{2}$ [/mm] gleicht einem Paraboloid!
Danke vielmals.
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