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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 16.11.2008 | | Autor: | soenne11 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob für alle i=1,2,3,4 die Menge Ki ein Unterraum der Mange Xi ist oder nicht. Begründen Sie ihre Behauptung.
a) K1:= {(x1,x2,x3) [mm] \in \IR³ [/mm] | -2x1 + 3x2 + 4x3 = 0 } und X1 = [mm] \IR³ [/mm]
b) seien (a1, ....,an) [mm] \in \IR^n [/mm] fest
K2:= {(x1,...,xn) [mm] \in \IR^n [/mm] | a1x1 +....+ anxn = 0 } und X2 = [mm] \IR^n
[/mm]
c) K3:= {(x1,x2,x3,x4) [mm] \in \IR^4 [/mm] | -2x1² + 3x2² + 4x3² - 5x4² = 0 } und X3 = [mm] \IR [/mm] 4
d) seien (a1, ....,an,p) [mm] \in \IR^n [/mm] x [mm] (\IR [/mm] \ {0}) fest
K4:= {(x1,x2,x3) [mm] \in \IR³ [/mm] | -2x1 + 3x2 +4x3 = p } und X4 = [mm] \IR³
[/mm]
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Leider habe ich keine Ahnung wie solch eine Aufgabe lösen soll.
Hoffe es kann mir Jemand einen Tipp oder Ansatz geben.
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> Untersuchen Sie, ob für alle i=1,2,3,4 die Menge Ki ein
> Unterraum der Mange Xi ist oder nicht. Begründen Sie ihre
> Behauptung.
>
> a) K1:= [mm] \{(x1,x2,x3) \in \IR³| -2x1 + 3x2 + 4x3 = 0 \} [/mm] und X1 = [mm]\IR³[/mm]
Hallo,
schauen wir doch erstmal Aufgabe a) an, um zu sehen, was man von Dir will.
Gegeben ist Dir die Menge [mm] K_1. [/mm]
Sie enthält alle Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}, [/mm] die die Gleichung [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] = 0 lösen.
Z.B. ist der Vektor [mm] \vektor{5\\2\\1} [/mm] in der Menge. (Überzeuge Dich davon.)
Zeigen sollst Du nun, daß diese Menge einen Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] bildet, also mit den dort defineirten Verknüpfungen selbst ein VR ist.
Man könnte die tun, indem man alle VR-Axiome nachrechnet.
Es stehen Dir jedoch die Unterraumkriterien zur Verfügung. Mit diesen geht das viel schneller und bequemer.
Wie lauten denn die Unterraumkriterien?
Schreib sie auf und versuche einen Ansatz zurLösung von a).
Falls Dir das nicht gelingt, formuliere Dein Problem, welches Du hierbei hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mo 17.11.2008 | | Autor: | soenne11 |
Das Vektor $ [mm] \vektor{5\\2\\1} [/mm] $ in der Menge vorkommt ist mir klar.
Leider weiß ich mir keinen Ansatz. bzw. weiß nicht wie ich anfangen soll.
[mm] -2(x+y)_{1} +3(x+y)_{2} [/mm] + [mm] 4(x+y)_{3} [/mm] = 0
[mm] -2x_{1} [/mm] - [mm] 2y_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 3y_{2} +4x_{3} [/mm] + [mm] 4y_{3} [/mm] = 0
[mm] (-2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] ) + [mm] (-2y_{1} [/mm] + [mm] 3y_{2} [/mm] + [mm] 4y_{3} [/mm] ) = 0
so und nun???
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> Das Vektor [mm]\vektor{5\\2\\1}[/mm] in der Menge vorkommt ist mir
> klar.
Hallo,
das ist schonmal gut.
>
> Leider weiß ich mir keinen Ansatz. bzw. weiß nicht wie ich
> anfangen soll.
Du hast ja angefangen.
Leider scheust Du Dich aus irgendwelchen Gründen, die Unterraumkriterien mal zu Bildschirme zu bringen.
Glaub' mir, sowas ist keine vertane Zeit.
Du fängst hier nun sehr plötzlich an, irgendwas zu rechnen, was durchaus Gutes enthält, ohne vorher zu sagen, was Du zeigen willst und was die Variablen bedeuten.
Damit behinderst Du Dich selbst, denn wenn man die Dinge klar aufschreibt, werden sie einem selbst auch leichter klar.
Es geht darum, daß hier gezeigt werden soll, daß
> a) [mm] K_1:=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR³ | -2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 0\}
[/mm]
ein UVR vom [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Dem, was Du schreibst, entnehme ich, daß Du nun die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition zeigen möchtest.
Also:
Zu zeigen: [mm] K_1 [/mm] ist abgeschlossen bzgl. der Addition, d.h.
für x,y [mm] \in K_1 [/mm] gilt [mm] x+y\in K_1.
[/mm]
Beweis: seien x,y in [mm] K_1 [/mm]
dann gibt es [mm] x_i, y_i \in \IR [/mm] mit
x=... , y= ... und [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] = 0 und [mm] -2y_1 [/mm] + [mm] 3y_2 [/mm] + [mm] 4y_3 [/mm] = 0.
es ist x+y= ... .
Wenn Du diesen Vektor hast, mußt Du seine Komponenten in -2(...) + 3(...) + 4(...) einsetzten und ausrechnen (!), ob 0 herauskommt.
Also
-2(...) + 3(...) + 4(...) = ....
> [mm]-2x_{1}[/mm] - [mm]2y_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]3y_{2} +4x_{3}[/mm] + [mm]4y_{3}[/mm]
> [mm](-2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]4x_{3}[/mm] ) + [mm](-2y_{1}[/mm] + [mm]3y_{2}[/mm] + [mm]4y_{3}[/mm] ) = ???
=0
Hier kommt ja tatsächlich 0 heraus.
Ist Dir klar, warum? Aus dem, was Du schriebst, ging das nämlich nicht hervor.
Na gut, jedenfalls weißt Du nun, daß die Komponenten von x+y die erforderliche Gleichung lösen, und somit ist [mm] x+y\in K_1.
[/mm]
So geht das.
Und nun mach die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation mit Skalaren.
Vergiß auch nicht zu zeigen, daß die Menge [mm] K_1 [/mm] nichtleer ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:54 Mo 17.11.2008 | | Autor: | soenne11 |
Wie sehen denn die Unterraumkriterien für Aufgabe a) aus?
Leider steige ich da noch nicht so ganz durch.
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> Wie sehen denn die Unterraumkriterien für Aufgabe a) aus?
Hallo,
wie sehen denn die Unterraumkriterien allgemein aus? (Nachschlagen in Skript, Buch, Mitschrift o.ä.)
Die brauchen wir doch, um sie dann anzuwenden auf a) - und für alle anderen Unterraumaufgaben auch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 17.11.2008 | | Autor: | soenne11 |
a, b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a +b [mm] \in [/mm] U
a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ka [mm] \in [/mm] U
das habe ich doch zum Teil mit meiner Rechnung schon bewiesen....
Sorry, stehe ehct auf dem Schlauch.
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> a, b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a +b [mm]\in[/mm] U
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> a [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] ka [mm]\in[/mm] U
Hallo,
und außerdem noch [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
>
> das habe ich doch zum Teil mit meiner Rechnung schon
> bewiesen....
>
> Sorry, stehe ehct auf dem Schlauch.
Ich hoffe, Du hast mein Post richtig gelesen...
Ich sagte doch, daß Du durchaus Gutes gemacht hast, das aber nicht so aufgeschrieben ist, daß man sich einen echten Reim drauf machen kann.
Dafür, wie man es aufschreiben kann, habe ich eine Vorlage geliefert.
Ich sagte auch, daß Du nun auch nocht die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation zeigen sollst und daß die Menge nicht leer ist.
Gruß v. Angela
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