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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Di 20.11.2007 | | Autor: | timako |
| Aufgabe | Ist die Menge ein Unterraum von [mm] \IR^{n}?
[/mm]
U := [mm] \{ \vektor{x_{1} \\ . \\ . \\ x_{n}} | \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1 \} [/mm] |
Hallo,
zu zeigen sind ja Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Multiplikation.
Hier nun mein Lösungsansatz:
1.) Abgeschlossenheit bzgl. Addition:
[mm] \vec{x} \in \IR^{n}, \vec{y} \in \IR^{n} \Rightarrow \vec{x}+\vec{y} \in \IR^{n} [/mm] ?
[mm] \vec{x}+\vec{y} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+y_{1} \\ . \\ . \\ x_{n}+y_{n}} \Rightarrow \summe_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2} [/mm] = 1?
--> Nun zu meiner Frage, muß ich dann hier untersuchen ob die o.g. Summe existiert und [mm] \in \IR^{n} [/mm] ist?
Vielen Dank im Voraus,
Timm.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ist die Menge ein Unterraum von [mm]\IR^{n}?[/mm]
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> U := [mm]\{ \vektor{x_{1} \\ . \\ . \\ x_{n}} | \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1 \}[/mm]
>
> Hallo,
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> zu zeigen sind ja Abgeschlossenheit bzgl. Addition und
> Multiplikation.
> Hier nun mein Lösungsansatz:
>
> 1.) Abgeschlossenheit bzgl. Addition:
>
> [mm]\vec{x} \in \IR^{n}, \vec{y} \in \IR^{n} \Rightarrow \vec{x}+\vec{y} \in \IR^{n}[/mm]
> ?
>
> [mm]\vec{x}+\vec{y}[/mm] = [mm]\vektor{x_{1}+y_{1} \\ . \\ . \\ x_{n}+y_{n}} \Rightarrow \summe_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}[/mm]
> = 1?
>
> --> Nun zu meiner Frage, muß ich dann hier untersuchen ob
> die o.g. Summe existiert und [mm]\in \IR^{n}[/mm] ist?
Hallo,
an der Existenz dieser Summe gibt es keine Zweifel. Warum sollte die nicht existieren?
Die Summe ist keinesfalls in [mm] \IR^^n. [/mm] Das sind doch alles reelle Zahlen, die addiert werden, also ist die Summe eine reelle Zahl.
Du mußt nur entscheiden, ob [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}=1 [/mm] ist,
ob also die Summe v. Vektoren der Länge 1 auch wieder einen Vektor der Länge 1 ergibt.
Gruß v. Angela
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