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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Seidom |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK=\IC [/mm] oder [mm] \IK=\IR [/mm] und [mm] n\in\IN\sub
[/mm]
Sei [mm] m\in\IN\sub, [/mm] m [mm] \le [/mm] n, und betrachte das kartesische Produkt
[mm] \IK^m \times \{0\}^{n-m} [/mm] := [mm] \{(u_1,...,u_n)^T\in\IK^n : u_{m+1}=...=u_n=0\}.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \IK^m \times \{0\}^{n-m} [/mm] ein Unterraum von [mm] \IK^n [/mm] ist. |
Hallo an alle :)
Ich muss ja jetzt zeigen, dass die Axiome
(U1) [mm]\forall v,w\in U : \quad v+w\in U [/mm]
(U2) [mm]\forall v\in U\quad \forall\lambda\in\IK\sub : \quad \lambda v\in U [/mm]
gelten. Wenn ich mir jetzt für (U1) zwei Vektoren
[mm] \vektor{v_1 \\ . \\ v_m \\ 0_{m+1} \\ . \\ 0_n } [/mm] und [mm] \vektor{w_1 \\ . \\ w_m \\ 0_{m+1} \\ . \\ 0_n } [/mm] nehme, woher weiß ich dann, dass die Summe dieser beiden wieder Element des Unterraumes ist? Gleiches Problem bei (U2).
Wahrscheinlich ist es ganz klar, und ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht. Bin für jede Hilfe dankbar :)
lg Seidom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]\IK=\IC[/mm] oder [mm]\IK=\IR[/mm] und [mm]n\in\IN\sub[/mm]
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> Sei [mm]m\in\IN\sub,[/mm] m [mm]\le[/mm] n, und betrachte das kartesische
> Produkt
> [mm]\IK^m \times \{0\}^{n-m}[/mm] :=
> [mm]\{(u_1,...,u_n)^T\in\IK^n : u_{m+1}=...=u_n=0\}.[/mm]
> Zeige,
> dass [mm]\IK^m \times \{0\}^{n-m}[/mm] ein Unterraum von [mm]\IK^n[/mm] ist.
> Hallo an alle :)
>
> Ich muss ja jetzt zeigen, dass die Axiome
> (U1) [mm]\forall v,w\in U : \quad v+w\in U[/mm]
> (U2) [mm]\forall v\in U\quad \forall\lambda\in\IK\sub : \quad \lambda v\in U[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast bei dem, was Du für "Unterraum" zeigen mußt, etwas ganz Wichtiges vergessen: [mm] U\not=0.
[/mm]
>
> gelten. Wenn ich mir jetzt für (U1) zwei Vektoren
> [mm]\vektor{v_1 \\ . \\ v_m \\ 0_{m+1} \\ . \\ 0_n }[/mm] und
> [mm]\vektor{w_1 \\ . \\ w_m \\ 0_{m+1} \\ . \\ 0_n }[/mm] nehme,
> woher weiß ich dann, dass die Summe dieser beiden wieder
> Element des Unterraumes ist?
Du addierst die beiden nach Vorschrift und stellst fest, daß alle Komponenten ab der (m+1)-ten gleich Null sind.
Also ist die Summe in U.
Für U") entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 21.10.2007 | | Autor: | Seidom |
Also danke erstmal für die schnelle Antwort :)
Bei [mm] U\not=0 [/mm] muss ich erklären, dass das bei uns per Definition ausgeschlossen ist, und deswegen nicht zu prüfen.
>
> Du addierst die beiden nach Vorschrift und stellst fest,
> daß alle Komponenten ab der (m+1)-ten gleich Null sind.
> Also ist die Summe in U.
>
Bei diesem Schritt habe ich Probleme; warum ist die Summe in U? Wie ist die Erklärug dafür?
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> Also danke erstmal für die schnelle Antwort :)
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> Bei [mm]U\not=0[/mm] muss ich erklären, dass das bei uns per
> Definition ausgeschlossen ist, und deswegen nicht zu
> prüfen.
>
> >
> > Du addierst die beiden nach Vorschrift und stellst fest,
> > daß alle Komponenten ab der (m+1)-ten gleich Null sind.
> > Also ist die Summe in U.
> >
> Bei diesem Schritt habe ich Probleme; warum ist die Summe
> in U? Wie ist die Erklärug dafür?
>
>
Hallo,
es ist ja die von Dir zu betrachtende Menge U:=$ [mm] \IK^m \times \{0\}^{n-m} [/mm] $ .
Was sind das für Elemente in dieser Menge? Es sind n-Tupel.
Wie sehen die aus: die ersten m Koordinaten sind beliebige Elemente aus K, die letzten n-m Koordinaten sind alle =0.
Du willst nun wissen, ob die Summe zweier Elemente aus U wieder in U liegt.
Dazu nimmst Du Dir zwei beliebige Elemente v,w [mm] \in [/mm] U her,
v:=$ [mm] \vektor{v_1 \\ . \\ v_m \\ 0 \\ . \\ 0 } [/mm] $ und $ w:= [mm] \vektor{w_1 \\ . \\ w_m \\ 0 \\ . \\ 0} [/mm] $, und addierst sie.
Wie addiert sie? Koordinatenweise, also
[mm] v+w=\vektor{v_1+w_1 \\ . \\ v_m+w_m \\ 0+0 \\ . \\ 0+0}=\vektor{v_1+w_1 \\ . \\ v_m+w_m \\ 0 \\ . \\ 0 }.
[/mm]
Für i=1,...m ist [mm] v_i+w_i \in [/mm] K, also sind die ersten m Koordinaten [mm] \in [/mm] K, die darauffolgenden m-1 Koordinaten sind alle =0, also ist v+w [mm] \in \IK^m \times \{0\}^{n-m}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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