Unterräume von Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:53 Di 29.01.2008 | | Autor: | Lothare |
Hey ihr,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hab mal wieder eine frage -.-, ich hoffe ihr könnt mir nocheinmal helfen.
Also und zwar folgende aufgabe :
Gegeben seien die folgenden beiden Unterräume des [mm] R^3 [/mm] .
[mm] U_1 [/mm] = <(1,2,3), (3,2,1), (-1,2,5)>
[mm] u_2 [/mm] = <(0,4,8), (9,2,-5), (0,12,24)>
Gilt [mm] U_1 [/mm] = [mm] U_2 [/mm] ?
Also, klar ist ja natürlich das [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] aus jeweils 3 Vektoren besteht, aber wie kann ich den nun Zeigen das diese Gleich sind ?
Nur ein Tip wäre hilfreich, rechnen will ich ja dann selber :) aber wäre schön wenn mir jemand nen kleinen Startpunkt zeigen könnte :)
Danke schonmal,
Gruß Lothare
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Hallo
> Gegeben seien die folgenden beiden Unterräume des [mm]R^3[/mm] .
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> [mm]U_1[/mm] = <(1,2,3), (3,2,1), (-1,2,5)>
>
> [mm]u_2[/mm] = <(0,4,8), (9,2,-5), (0,12,24)>
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> Gilt [mm]U_1[/mm] = [mm]U_2[/mm] ?
>
> Also, klar ist ja natürlich das [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] aus jeweils 3
> Vektoren besteht, aber wie kann ich den nun Zeigen das
> diese Gleich sind ?
Die beiden Unterräume bestehen aus wesentlich mehr als den 3 Vektoren. Sie bestehen aus allen Linearkombinationen dieser 3 Vektoren.
Ich verstehe die Aufgabe auch nicht so, dass man die Gleichheit zeigen soll. Die Antwort könnte doch auch sein, dass sie nicht gleich sind.
Könnte es sein , dass Du das übersehen hast und kommst Du jetzt alleine klar? Wenn nicht, melde Dich nochmals.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Di 29.01.2008 | | Autor: | Lothare |
Also, ich glaub ich hab es ein bisschen falsch hier hin geschrieben,
Also,
[mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind ja gegeben.
So nun stellt sich die Frage ob [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] gleich sind.
Die Vektoren die in [mm] U_1 [/mm] und in [mm] U_2 [/mm] stehen, sind denke ich die Basis oder irre ich mich da ?
Meine frage ist aber, wie ich das beweise das sie Gleich sind, bzw wie ich beweise das sie nicht gleich sind.
Das muss ich ja herraus finden.
Ich hoffe du kannst mir nochmal schnell helfen :)
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Hallo Lothare,
> Also, ich glaub ich hab es ein bisschen falsch hier hin
> geschrieben,
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> Also,
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> [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] sind ja gegeben.
>
> So nun stellt sich die Frage ob [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] gleich sind.
>
> Die Vektoren die in [mm]U_1[/mm] und in [mm]U_2[/mm] stehen, sind denke ich
> die Basis oder irre ich mich da ?
Sofern die Vektoren in [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] linear unabhängig, stellen sie eine Basis dar.
>
> Meine frage ist aber, wie ich das beweise das sie Gleich
> sind, bzw wie ich beweise das sie nicht gleich sind.
>
> Das muss ich ja herraus finden.
>
> Ich hoffe du kannst mir nochmal schnell helfen :)
Zeige, dass sich jeder Vektor aus [mm]U_2[/mm] als Linearkombination der Vektoren aus [mm]U_1[/mm] darstellen läßt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Di 29.01.2008 | | Autor: | Lothare |
Subber, dank dir Mathepower :)
habs jetzt gelöst :) hm ist gar nicht so schwierig wie ich immer gedacht habe :)
Gruß Lothare
p.s. danke nochmal allen :)
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Hallo
wie MathePower schon schreibt, sind die 3 gegebenen Vektoren nur dann eine Basis von U, falls sie linear unabhängig sind.
1. Fall
Sowohl die 3 Vektoren in [mm] U_{1} [/mm] als auch in [mm] U_{2} [/mm] sind linear unabhängig, add sind sie eine Basis. Aber wichtiger: Aus Dimensionsgründen sind sie dann auch eine Basis des [mm] \IR^{3}. [/mm] Dann ist aber [mm] U_{1} [/mm] = [mm] \IR^{3} [/mm] = [mm] U_{2} [/mm]
2. Fall
Die 3 Vektoren in [mm] U_{1} [/mm] sind lin. unabhängig, die 3 Vektoren in [mm] U_{2} [/mm] sind es nicht (oder umgekehrt)., dann ist aus Dimensionsgründen [mm] U_{1} \not= U_{2}
[/mm]
3. Fall
Die 3 Vektoren in [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] sind lin. abhängig
Jetzt wird´s häßlich - wir müssen rechnen. "Natürlich" liegt dieser Fall vor.
(Folgende Rechnung ohne Gewähr)
dim [mm] U_{1} [/mm] = dim [mm] U_{2} [/mm] = 2
Ein Dimensionsargument hilft also nicht (sofort) weiter.
Offensichtlich sind der 1. und 3. Vektor in [mm] U_{1} [/mm] linear unabhängig.
Jeder kann als Linearkombination der beiden linear unabhängigen Vektoren [mm] \vektor{0 \\4\\8} [/mm] und [mm] \vektor{9 \\2\\-5} [/mm] aus [mm] U_{2} [/mm] geschrieben werden.
Also ist sogar [mm] U_{1} \subset U_{2}
[/mm]
Nun ist aus Dimensionsgründen sogar [mm] U_{1} [/mm] = [mm] U_{2}
[/mm]
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 31.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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