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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum, und seien [mm] U_1,...,U_n \subset [/mm] V Untervekotrräume.
Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivlant sind:
a) Jedes [mm] v\in [/mm] V lässt sich eindeutig in der Form [mm] v=u_1,...,u_n [/mm] mit [mm] u_i\in U_i [/mm]
für i=1,...,n schreiben
b) [mm] U_i \cap \summe_{j\not= i}U_j=0 [/mm] für alle i=1,...,n
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(frabge zuvor nicht gestellt)
Hey leute, denke man kann dies am besten wieder durch [mm] a)\Rightarrow [/mm] b) und andersum machen.
für die erste inklusion:
Sei [mm] (u_{1,1},...,u_{1K1}) [/mm] Basis von [mm] U_1
[/mm]
[mm] \vdots [/mm]
[mm] (u_{n,1},...,u_{n,Kn}) [/mm] Basis von [mm] U_n
[/mm]
Da jedes [mm] v\in [/mm] V eindeutig zu schreiben ist als [mm] v=u_1+...+u_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow (u_{1,1},....,u_{n,Kn} [/mm] sind Basis von V insbesondere sind sie
linear unabhängig
[mm] \Rightarrow \lambda_1*u_{i,1}+...+\lambda_{Ki}*u_{i,Ki}-\summe_{j\not= i}\mu_{j,1}*u_{j,1}+....+\mu{j,Kj}*u_{j,Kj}=0
[/mm]
nur für alle [mm] \lambda_1,...,\lambda_{K1},\mu{j,1},....\mu{j,Kj} [/mm] = 0 da dies eine Linearkkombination aus lin.unabh. Vektoren ist.
[mm] \Rightarrow U_i\cap \summe_{j\not= i}U_j=0 [/mm] für alle i=1,...,n
und die Rückrichtung:
mache ich noch fertig, poste ich dann auch hier rein (glaube aber dass man alle [mm] \Rightarrows [/mm] durch [mm] \gdw [/mm] erstezen kann und diese dann nciht mehr brauche oder?
danke schonmal im voraus :) Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Sa 15.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> Sei V ein K-Vektorraum, und seien [mm]U_1,...,U_n \subset[/mm] V
> Untervekotrräume.
> Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivlant sind:
> a) Jedes [mm]v\in[/mm] V lässt sich eindeutig in der Form
> [mm]v=u_1,...,u_n[/mm] mit [mm]u_i\in U_i[/mm]
> für i=1,...,n schreiben
> b) [mm]U_i \cap \summe_{j\not= i}U_j=0[/mm] für alle i=1,...,n
>
>
> (frabge zuvor nicht gestellt)
>
> Hey leute, denke man kann dies am besten wieder durch
> [mm]a)\Rightarrow[/mm] b) und andersum machen.
Wie auch sonst? 
> für die erste inklusion:
Warum machst du das so kompliziert? Das geht doch mit der Eindeutigkeit viel schneller! Nimm dir einen Vektor $v [mm] \in U_i \cap \sum_{j\neq i} U_j$. [/mm] Dann ist $v = [mm] \sum_{j=1}^n v_j$ [/mm] mit [mm] $v_j [/mm] = 0$ fuer $j [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $v_i [/mm] = v$, und weiterhin und $v = [mm] \sum_{j\neq i} u_j [/mm] + 0$ mit [mm] $u_j \in U_j$, [/mm] $0 [mm] \in U_i$.
[/mm]
So. Und die Eindeutigkeit sagt jetzt gerade, dass [mm] $u_j [/mm] = [mm] v_j$ [/mm] ist fuer $j [mm] \neq [/mm] i$ und [mm] $v_i [/mm] = 0$, also insgesamt $v = 0$.
Ist doch gleich viel einfacher, oder?
Fuer die Rueckrichtung nimm doch einfach mal an, es gibt ein $v [mm] \in [/mm] V$, welches du als $v = [mm] \sum_{i=1}^n v_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n u_i$ [/mm] darstellen kannst mit [mm] $u_i, v_i \in U_i$. [/mm] Und jetzt nimm an, dass [mm] $u_i \neq v_i$ [/mm] ist fuer ein $i$. Was gilt dann?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:22 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
ich verstehe leider nicht ganz wo dieswe [mm] v_j [/mm] herkommen und was die [mm] \summe_{i=1}^nv_j [/mm] bedeuten soll, wenn [mm] v_j=0 [/mm] für [mm] j\not= [/mm] 0 dann ist die summme doch immer 0 oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Sa 15.04.2006 | | Autor: | vanguard2k |
Ich glaube man muss, damit diese Aussage gilt, klarerweise verlangen, dass die [mm]U_{i}[/mm] gemeinsam ganz V aufspannen.
Sonst wird man b) => a) wohl nicht zeigen können
Mfg
Michael
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:26 So 16.04.2006 | | Autor: | AriR |
ich hab mal einen vorschlag für die rückrichtung, vielleicht stimmt die ja:
[mm] \summe_{i\not= j}U_j=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Vereinigung F der Basen aller [mm] U_i [/mm]
[mm] 1\le i\le [/mm] n sind eine basis von V insbesondere lin.unabh.
[mm] F:=\{u_1_1, u_1_2,....,u_2_1,u_2_2,........,u_n_1,....,u_n_Kn\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] jedes [mm] v\in [/mm] V ist darstellbar als
[mm] v=u_1+...+u_n=\lambda_1*u_1_1+\lambda_2*u_1_2+...+\lambda_n*u_n_n
[/mm]
(hierbei stellt [mm] \lambda_1*a_1_1+...+\lambda_s*a_1_s, [/mm] das element [mm] a_1 [/mm] dar, wobei [mm] U_1 [/mm] die dimension s hat.)
eindeutig, da die Elemente aus F linear unabhängig sind. qed.
ist das so richtig? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 20.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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