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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien V und W zwei K-Vektorräume.
(i) Weisen Sie nach, dass das kartesische Produkt V x W der zugrunde liegenden Mengen durch die Verknüpfungen
(v1, w1) + (v2, w2) := (v1 + v2, w1 + w2) [mm] \lambda(v1, [/mm] w1) := [mm] (\lambda*v1, \lambda*w1)
[/mm]
mit [mm] \lambda \in [/mm] K und v1, v2 [mm] \in [/mm] V, w1, w2 [mm] \in [/mm] W zu einem K-Vektorraum wird.
(ii) Zeigen Sie, dass V x {0} und {0} x W Untervektorräume von V x W sind.
(iii) Gilt V x W = V x {0} [mm] \oplus [/mm] {0} x W,
ist also der Vektorraum V x W die innere direkte Summe von V x {0} und {0} x W ?
Berechnen Sie auch die Dimension von V x W, wenn sowohl V als auch W endlich-dimensional sind.
Lösungshinweis zu (iii)
Für jedes Element (v,w) [mm] \in [/mm] V x W gilt:
(v,w) = (v,0) + (0,w).
Also ist V xW die Summe der beiden Untervektorräume. Außerdem besteht der Schnitt der beiden Untervektorräume nur aus dem Nullvektor. Daher ist tatsächlich die Summe direkt, V x W = V x {0} [mm] \oplus [/mm] {0} x W. Die Dimension von V x W ist daher die Summe der Dimensionen von V und von W, dim(V x W) = dim(V) + dim(W). |
Moin,
hier meine Lösungsideen zu (i) und (ii). Bei (iii) bin ich im MOment noch relativ ratlos, trotz Lösungshinweis...
zu (i)
Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) wobei a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B. (Kombination "jedes mit jedem" als A "kreuz" B).
A x B := {(a,b) | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}
Prüfung der Vektorraumeigenschaften
1. Abgeschlossenheit bezgl. Addition
(v1, w1) + (v2, w2) = (v2, w2) + (v1, w1)
(v1+v2, w1+w2) = (v1+v2, w1+w2)
erfüllt.
2. Skalarmultiplikation assoziativ
(ab)*(v1,w1) = a(b(v1,w1))
(abv1, abw1) = a(bv1, bw1)
(abv1, abw1) = (abv1, abw1)
erfüllt.
3. Skalarmultiplikation mit 1
1*(v1,w1) = (v1,w1) für alle v,w [mm] \in [/mm] V x W
erfüllt.
4. Distributivgesetze
4.1. (a+b) * (v,w) = a (v,w) +b (v,w)
(a+b) * (v,w) = (av,aw) + (bv, bw)
((a+b)v,(a+b)w)) = (av + bv, aw + bw)
((a+b)v, (a+b)w) =((a+b)v, (a+b)w)
erfüllt
4.2. a*((v1,w1) + (v2,w2)) = a*(v1,w1) + a(v2,w2)
a(v1+v2, w1+w2) = (av1, aw1) + (av2, aw2)
(av1 + av2, aw1 + aw2) = (av1 + av2, aw1 + aw2)
erfüllt.
Also ist V x W ein K-Vektorraum.
zu (ii)
Ein Untervektorraum W eines Vektorraumes V (über einem Körper K) ist eine Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften
1. Sind w, w' [mm] \in [/mm] W, dann ist auch w+w' [mm] \in [/mm] W
2. Ist w [mm] \in [/mm] W und [mm] c\in [/mm] K, dann ist auch c*w [mm] \in [/mm] W
3. 0 [mm] \in [/mm] W
Habe für das Forum nur V x {0} geprüft:
(v,0)
1. (v1,0) + (v2,0) = (v1+v2,0) [mm] \in [/mm] V x {0}
erfüllt.
2. c*(v,0) = (cv,0) [mm] \in [/mm] V x {0}
3. (0,0) [mm] \in [/mm] V x {0} wenn ich für v=0 wähle.
erfüllt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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