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| Aufgabe | geg.: Gerade [mm] G_{a;e} [/mm] und Ebene [mm] E_{a;e,f} [/mm] in [mm] \IR^3
[/mm]
Ich soll zeigen dass die Gerade genau dann ein Unterraum ist wenn 0 [mm] \in G_{a;e}
[/mm]
Ebenfalls bei der Ebene:
Ebene ist dann Unterraum genau dann wenn 0 [mm] \in E_{a;e,f} [/mm] |
Also mir ist klar dass ich zwei Richtungen hier beweisen muss. Bin mir jedoch unsicher, ob das so stimmt was ich mir bisher überlegt habe.
zu dem teil mit der Geraden: Reicht es bei der Rückrichtung die Eigenschaften eines Unterraums zu beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Also mir ist klar dass ich zwei Richtungen hier beweisen > muss. Bin mir jedoch unsicher, ob das so stimmt was ich mir
> bisher überlegt habe.
> zu dem teil mit der Geraden: Reicht es bei der
> Rückrichtung die Eigenschaften eines Unterraums zu
> beweisen?
meinst du mit Rückrichtung
G ist eine Ursprungsgerade => G ist (eindimensinaler) Unterraum von [mm] \IR^3
[/mm]
Ja, dann ist genau das gefragt: die Kriterien für Untervektorräume nachzuweisen bzw. zu begründen, weshalb sie erfüllt sind.
Gruß, Diophant
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Also wenn V ein K - Vektorraum und W eine Teilmenge von V ist. W heißt Untervektorraum wenn
1) W [mm] \not= \emptyset
[/mm]
das wird ja in der "Rückrichtung" quasi schon vorausgesetzt.
2) v,w [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] v + w [mm] \in [/mm] W
Kann man das wie folgt beweisen? Bin mir unsicher...
gegeben sind die Vektoren [mm] a_1 [/mm] = [mm] (x_1,y_1,z_1) [/mm] und
[mm] a_2 [/mm] = [mm] (x_2,y_2,z_3)
[/mm]
Die Summe aus diesen beiden Vektoren also [mm] a_1+a_2 [/mm] = [mm] (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) [/mm] muss wieder in W liegen weil
0 = [mm] (x_1+y_1-z_1) [/mm] + [mm] (x_2+y_2-z_2) [/mm] Denn [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind in W
[mm] =(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2) [/mm] Es gilt für alle Vektoren in W das die SUmme wieder in W liegt.
Daraus folgt für alle v,w [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] v + w [mm] \in [/mm] W
3.) v [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] v [mm] \lambda \in [/mm] W
WIe kann ich diese Eigenschaft beweisen?? Damit habe ich Schwierigkeiten..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Di 20.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn V ein K - Vektorraum und W eine Teilmenge von V
> ist. W heißt Untervektorraum wenn
>
> 1) W [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> das wird ja in der "Rückrichtung" quasi schon
> vorausgesetzt.
>
> 2) v,w [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] v + w [mm]\in[/mm] W
>
> Kann man das wie folgt beweisen? Bin mir unsicher...
>
> gegeben sind die Vektoren [mm]a_1[/mm] = [mm](x_1,y_1,z_1)[/mm] und
> [mm]a_2[/mm] = [mm](x_2,y_2,z_3)[/mm]
>
> Die Summe aus diesen beiden Vektoren also [mm]a_1+a_2[/mm] =
> [mm](x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)[/mm] muss wieder in W liegen weil
> 0 = [mm](x_1+y_1-z_1)[/mm] + [mm](x_2+y_2-z_2)[/mm] Denn [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] sind in
> W
> [mm]=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2)[/mm] Es gilt für alle Vektoren
> in W das die SUmme wieder in W liegt.
> Daraus folgt für alle v,w [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] v + w [mm]\in[/mm] W
>
> 3.) v [mm]\in[/mm] W, [mm]\lambda \in[/mm] K [mm]\Rightarrow[/mm] v [mm]\lambda \in[/mm] W
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> WIe kann ich diese Eigenschaft beweisen?? Damit habe ich
> Schwierigkeiten..
Was ist denn nun konkret bei Dir die Menge W ?
Ohne diese Info kann man Dir nicht antworten ,
FRED
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W ist der Untervektorraum, bei dem die 3 genannten Eigenschaften gelten müssen. Ich weiß nicht wie ich es anders sagen soll.
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Hallo,
du denkst viel zu kompliziert, und deinen obigen 'Nachweis' kann man nicht nachvollziehen.
Nutze doch mal aus, dass W eine Ursprungsgerade ist, die muss ja eine bestimmte Form von Gleichung haben...
Gruß, Diophant
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