Unterräume < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mi 01.12.2010 | | Autor: | moody |
Kleiner Nachtrag,
ich hatte noch ein paar kleine Fehler bei den Variablen, die ich nun korrigiert habe. Jetzt stimmt alles so,
lg moody
|
|
|
| |
|
Hallo moody,
Vektoren mache mit dem Befehl \vec{a} für [mm]\vec{a}[/mm] oder \overrightarrow{a} für [mm]\overrightarrow{a}[/mm]
> 1) V = [mm]\IR;[/mm] U = [-1,1]
> 2) V = [mm]\IR^3;[/mm] [mm]U = \{\vektor{x \\
y \\
z} \in \IR^3 : x^2 + y^2 + z^2 \le 49\}[/mm]
>
> 3) V = [mm]\IR^2[/mm] [mm]U = \{ x^{\to} } \in \IR^2 : x^{\to} = \vektor{1 \\
1 } + t \vektor{1 \\
1 }, t \le -1\}[/mm]
>
> 4) V = [mm]\IR^3[/mm] [mm]U = \{ x^{\to} = \vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}} \in \IR^3 : \vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}} = \vektor{4x_{2} \\
x_{1} - x_{2} \\
0} \}[/mm]
>
>
> Guten Tag,
>
> wir haben kurz Unterräume angesprochen in der Vorlesung
> und diese kommen auch in einem Test vor den wir diese Woche
> schreiben.
> Leider fühle ich mich auf diesem Gebiet überhaupt nicht
> fit. ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
>
> Aufgabe 1
>
> Hier habe ich einfach konkrete Zahlen genommen.
>
> [mm]x^{\to} + y^{\to} \in U[/mm]
> [mm]0.5 + 0.75 \not\in U = [-1,1][/mm]
>
> Also handelt es sich um keinen Unterraum. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aufgabe 2
>
> Hier würde ich einfach sagen dass eigentlich klar ist,
> dass wenn [mm]\vektor{x \\
y \\
z} \in \IR^3[/mm] gilt dass dann [mm]x^2[/mm]
> + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] auch > 49 sein kann.
>
> Daher ist das ebenfalls kein Unterraum. Reicht die
> Begründung so aus?
Recht hast du, aber gib stets ein konkretes Gegenbsp. an (ein möglichst simples)
>
> Aufgabe 3
>
> [mm]x^{\to} + y^{\to} \in U[/mm]
>
> [mm]x^{\to}, y^{\to} \in U[/mm] mit
> [mm]\vektor{1 \\
1 }[/mm] = [mm]a^{\to}[/mm]
> [mm]x^{\to}[/mm] = [mm]t_{1}*a^{\to}[/mm]
> [mm]y^{\to}[/mm] = [mm]t_{2}*a^{\to}[/mm]
>
> [mm]x^{\to}[/mm] + [mm]y^{\to}[/mm] = [mm]t_{1}*a^{\to}[/mm] + [mm]t_{2}*a^{\to}[/mm] =
> [mm](t_{1}+t_{2})a^{\to}[/mm]
>
> [mm]t_{1}+t_{2}[/mm] ist immer kleiner gleich -1
Und was bedeutet das nun?
Durch die Addition von [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] bekommst du doch [mm]\vektor{2\\
2}+(t_1+t_2)\cdot{}\vektor{1\\
1}[/mm] ...
Das bedarf genauerer Erläuterung!
>
> [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>
> setze [mm]\alpha[/mm] = 0
Warum?
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
1 }[/mm] = [mm]0^{\to} \in[/mm] U
Es muss für jedes [mm]\alpha\in\IR[/mm] und jeden Vektor [mm]\vec{x}[/mm] aus der Menge [mm]V[/mm] doch [mm]\alpha\cdot{}\vec{x}[/mm] wieder drin sein.
Für [mm]t=-2[/mm] erhältst du welchen Vektor [mm]\vec{x}[/mm]?
Dann nimm mal [mm]\alpha=-2[/mm], wie sieht dann [mm]\alpha\vec{x}[/mm] aus und liegt er in [mm]V[/mm]?
>
> Also würde ich sagen es ist ein Unterraum.
>
> Aufgabe 4
>
> Das [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{4x_{2} \\
x_{1} - x_{2} \\
0}[/mm]
> verwirrt mich. Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz.
>
> Wir haben auch kaum Aufzeichnungen zu dem Thema.
>
> Ich weiss dass das Produkt die Summe [mm]x^{\to}[/mm] + [mm]y^{\to}[/mm] ebenfalls in U
> liegen muss wenn [mm]x^{\to}[/mm] und [mm]y^{\to}[/mm] in U liegen.
>
> Und das [mm]\alpha[/mm] * [mm]x^{\to}[/mm] im Raum liegen muss und auch den
> Nullvektor enthalten muss.
Ja, zeige das!
Ist der Nullvektor [mm]\vec{0}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] drin?
Nimm dir 2 Vektoren [mm]\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] und [mm]\vec{y}=\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}[/mm] aus [mm]V[/mm] her und schaue, ob ihre Summe auch drin ist.
Dann nimm dir ein bel. [mm]\alpha\in\IR[/mm] und bel. [mm]\vec{x}\in V[/mm], berechne [mm]\alpha\cdot{}\vec{x}[/mm] und schaue, ob das Biest wieder in [mm]V[/mm] liegt
> Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.
>
> [mm]x^{\to}[/mm] seien übrigens Vektoren, ich habe im Formeleditor
> jetzt keine Schreibweise gefunden, oder ich bin blind 
>
> lg moody
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mi 01.12.2010 | | Autor: | moody |
> > [mm]t_{1}+t_{2}[/mm] ist immer kleiner gleich -1
>
> Und was bedeutet das nun?
[mm] t_{1}+t_{2} [/mm] kann zwar kleiner als -1 werden aber nicht gleich -1. Ist das jetzt schon wichtig?...
> Durch die Addition von [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] bekommst du doch
> [mm]\vektor{2\\
2}+(t_1+t_2)\cdot{}\vektor{1\\
1}[/mm] ...
>
> Das bedarf genauerer Erläuterung!
...Denn im Prinzip lässt sich so ja ebenfalls der Nullvektor darstellen.
[mm] \vektor{1\\
1}+(t)\cdot{}\vektor{1\\
1} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] mit t = -1
Für
[mm] t_1 [/mm] = -1 und [mm] t_2 [/mm] = -1 ergibt sich ja ebenfalls der Nullvektor. Kann das sein? Muss ich ausschließen dass [mm] t_1 [/mm] = [mm] t_2 [/mm] gilt?
> > [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> >
> > setze [mm]\alpha[/mm] = 0
>
> Warum?
Das steht in meinem Skript so.
(ii) [mm] \alpha \in \IR, \vec{x} \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \alpha \vec{x} \in [/mm] U
Folgerung:
Setze in (ii) [mm] \alpha [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \vec{0} \in [/mm] U
Daher ist U Unterraum [mm] \Rightarrow \vec{0} \in [/mm] U
A [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \gdw \neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B
>
> >
> > [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
1 }[/mm] = [mm]0^{\to} \in[/mm] U
>
> Es muss für jedes [mm]\alpha\in\IR[/mm] und jeden Vektor [mm]\vec{x}[/mm]
> aus der Menge [mm]V[/mm] doch [mm]\alpha\cdot{}\vec{x}[/mm] wieder drin
> sein.
>
> Für [mm]t=-2[/mm] erhältst du welchen Vektor [mm]\vec{x}[/mm]?
>
> Dann nimm mal [mm]\alpha=-2[/mm], wie sieht dann [mm]\alpha\vec{x}[/mm] aus
> und liegt er in [mm]V[/mm]?
Nein.
> >
> > Also würde ich sagen es ist ein Unterraum.
Ist also doch keiner
Aber der Nullvektor muss in jedem Fall enthalten sein?
Ist das bisher so richtig?
Vielen Dank und auch für deinen Ansatz für Aufgabe 4, an die wage ich mich ran wenn 1 - 3 jetzt soweit klar und richtig sind.
lg moody
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:48 Di 07.12.2010 | | Autor: | moody |
Guten abend,
da mir die ganze Sache immernoch nicht wirklich klarer geworden ist, stelle ich die Frag einfach mal erneut.
lg moody
|
|
|
| |
|
Hallo,
intensive Forschungstätigkeit ließ mich zu der Erkenntnis gelangen, daß Du herausfinden möchtest, ob [mm] U\subseteq \IR^2 [/mm] mit
$ U := [mm] \{\vec{x} \in \IR^2 : \vec{x}= \vektor{1 \\ 1 } + t \vektor{1 \\ 1 }, t \le -1\} [/mm] $
ein Untervektorraum des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Zu untersuchen sind hierfür die drei Unterraumkriterien, deren genaue Kenntnis ich voraussetze.
a. Wenn ich alles richtig deute, hast Du bereits herausgefunden, daß der Nullvektor in U liegt, denn es ist [mm] \vektor{0\\0}=\vektor{1 \\ 1 } [/mm] + (-1)* [mm] \vektor{1 \\ 1 }.
[/mm]
b. Des weiteren hast Du schon festgestellt, daß für [mm] \vec{x}:=\vektor{1 \\ 1 } [/mm] + [mm] t_1* \vektor{1 \\ 1 }, \vec{y}:=\vektor{1 \\ 1 } [/mm] + [mm] t_2* \vektor{1 \\ 1 } [/mm] mit [mm] t_1, t_2\le [/mm] -1 auch
[mm] \vec{x}+\vec{y}=\vec{x}:=\vektor{1 \\ 1 } [/mm] + [mm] (t_1+t_2)* \vektor{1 \\ 1 }\in [/mm] U ist, denn es ist [mm] t_1+t_2\le [/mm] -1.
c. Zu überprüfen ist weiterhin, ob für jedes [mm] \alpha\in \IR [/mm] und [mm] \vec{x}\in [/mm] U auch der Vektor [mm] \alpha \vec{x} [/mm] in U liegt.
Und dies ist hier nicht der Fall, was man mit einem Gegenbeispiel zeigen kann, zum Beispiel so:
Es ist [mm] \vec{x}:=vektor{1 \\ 1 } [/mm] + (-5)* [mm] \vektor{1 \\ 1 }=\vektor{-4\\-4} \in [/mm] U,
jedoch ist [mm] -2\vec{x}=\vektor{8\\8}=\vektor{1\\1}+7*\vektor{1\\1} \not\in [/mm] U.
Da also eines der Unterraumkriterien nicht erfüllt ist, ist es kein Unterraum.
Weitergehende Überlegungen, wie die, ob man "im Prinzip" den Nullvektor als Summe zweier Vektoren aus U schreiben kann,
ob vielleicht manche Produkte doch Vektoren aus U ergeben, ob unter gewissen Umständen manche Elemente aus U lila blinken, braucht man für die Entscheidung dafür, ob's ein Unterraum ist oder nicht, nicht anzustellen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Di 07.12.2010 | | Autor: | moody |
Nabend,
vielen Dank für die Antwort jetzt habe ich verstanden wie man prüft ob ein Unterraum vorliegt.
lg moody
|
|
|
|
