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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:42 Mo 22.06.2009 | | Autor: | anna99 |
| Aufgabe | Seien U,W Unterräume des Vektorraums V . Man zeige, dass U ∪ W genau dann ein
Unterraum von V ist, wenn U ⊆ W oder W ⊆ U gilt. |
Weiss nicht, wie ich den Beweis anfangen soll :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 22.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ueberleg dir mal erst Beispiele, etwa in [mm] R^3. [/mm] Dann ist die eine Richtung einfach, benutz einfach die UVR Eigenschaften von U und V was ist [mm] U\cup [/mm] V wenn [mm] U\subseteq [/mm] V?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mo 22.06.2009 | | Autor: | anna99 |
Kann man das so machen?
zu zeigen:
(U [mm] \cup [/mm] W){Unterraum} <=> (U [mm] \subseteq [/mm] V) [mm] \vee [/mm] (V [mm] \subseteq [/mm] U)
Voraussetzungen:
(1) (U [mm] \cup [/mm] W) ist Unterraum von V
(2) U [mm] \not \subseteq [/mm] W
Behuptung:
W [mm] \subseteq [/mm] U
Beweis
Nach (2) gibt es ein [mm] u_0 \in [/mm] U mit [mm] u_0 \not \in [/mm] W.
Sei w [mm] \in [/mm] W auch und [mm] w\in [/mm] U ist, daß also W [mm] \subseteq [/mm] U gilt.
[mm] u_0 [/mm] und w sind Elemente von U [mm] \cup [/mm] W . Nach (1) ist dann auch [mm] u_0 [/mm] + w [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] W (Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft). Es muß also [mm] u_0 [/mm] +w in U oder in W liegen.
Wäre jetzt [mm] u_0 [/mm] + w [mm] \in [/mm] W, also [mm] u_0 [/mm] + w = w' mit einem w' [mm] \in [/mm] W , so folgte aus dieser Gleichung [mm] u_0 [/mm] = w' - w [mm] \in [/mm] W (Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft von W ).
Das ist aber unmöglich, denn (siehe Anfang des Beweises) es ist [mm] u_0 \not \in [/mm] W .
Dann bleibt nur noch die Möglichkeit [mm] u_0 [/mm] + w [mm] \in [/mm] U , also [mm] u_0 [/mm] + w = u' mit einem u' [mm] \in [/mm] U.
=> w = u' - [mm] u_0 \in [/mm] U (Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft von U.
=> W [mm] \subseteq [/mm] U
Und wie zeige ich jetzt die Gegenrichtung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mo 22.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der eine Weg ist soweit ich sehe ok
Wenn U [mm] \subseteq [/mm] W oder W [mm] \subseteq [/mm] U was ist dann [mm] U\cup [/mm] W jeweils?
Dann hast du doch schon den Beweis.
Gruss leduart
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