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| Aufgabe | | Sind [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Unterräume von [mm] F^n, [/mm] dann sind auch [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] und [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] Unterräume von [mm] F^n. [/mm] |
Ich weiß nicht, wie ich darauf kommen soll, was das ergibt, ich habe jetzt folgendes erdacht:
Ich nehme ein u [mm] \in U_1 [/mm] und ein v [mm] \in U_2, [/mm] dann sind sind u+v = [mm] (u_1,...,u_n) [/mm] + [mm] (v_1,...,v_n).
[/mm]
Da u sowie v in [mm] U_1 [/mm] bzw [mm] U_2, [/mm] ist u+v auch [mm] \in [/mm] U.
Irgendwie find ich das alles sehr abstrakt, ich komme einfach nicht weiter...
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> Sind [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] Unterräume von [mm]F^n,[/mm] dann sind auch [mm]U_1 \cap U_2[/mm]
> und [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] Unterräume von [mm]F^n.[/mm]
> Ich weiß nicht, wie ich darauf kommen soll, was das
> ergibt, ich habe jetzt folgendes erdacht:
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> Ich nehme ein u [mm]\in U_1[/mm] und ein v [mm]\in U_2,[/mm] dann sind sind
> u+v = [mm](u_1,...,u_n)[/mm] + [mm](v_1,...,v_n).[/mm]
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> Da u sowie v in [mm]U_1[/mm] bzw [mm]U_2,[/mm] ist u+v auch [mm]\in[/mm] U.
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> Irgendwie find ich das alles sehr abstrakt, ich komme
> einfach nicht weiter...
Hallo,
da steckt eine richtige Idee drin, leider verlierst Du schnell die Nerven.
Wir wollen jetzt zeigen, daß [mm] U_1+U_2 [/mm] ein Unterraum des [mm] F^n [/mm] ist.
Dazu müssen die UVR-Kriterien gezeigt werden.
Erstmal überlegen wir uns, was in [mm] U_1+U_2 [/mm] drin ist: alle vektoren, die man als Summe eines vektors aus [mm] U_1 [/mm] und eines aus [mm] U_2 [/mm] schreiben kann.
1. Überlege Dir, daß die Menge nichtleer ist.
2. Für die Abgeschlossenheit muß man zeigen, daß für u, [mm] v\in U_1+U_2 [/mm] auch [mm] u+v\in U_1+U_2 [/mm] ist.
Beweis: seien u, [mm] v\in U_1+U_2.
[/mm]
Dann gibt es [mm] u_1, v_1\in U_1 [/mm] und [mm] u_2, v_2\in U_2 [/mm] mit
[mm] u=u_1+u_2
[/mm]
[mm] v=v_1+v_2.
[/mm]
Es ist [mm] u+v=(u_1+u_2)+(v_1+v_2) [/mm] = ...
Jetzt versuche so umzuformen (und diese Umformungen zu begründen), daß man sieht, daß das Ergebnis in [mm] U_1+U_2 [/mm] liegt.
3. Wenn Du 2. dann kannst, kannst Du auch dies.
Gruß v. Angela
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