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| Aufgabe | Aufgabe 4:
a)Es sei S:= {(x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] : x+y=0}.Zeigen Sie, dass S ein Unterraum des [mm] R^3 [/mm] ist.
b)Es sei A eine mxn-Matrix und T:={b [mm] \in R^m [/mm] : A*x=b ist lösbar}.Zeigen Sie, dass T ein Unterraum des [mm] R^m [/mm] ist.
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Hallo,
kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen... Ich weiß nicht genau wie ich die 3 Sätze
(0 ist ein Element von U, u+u' Element von U, a*u Element von U)hier nachweisen soll, die einen Unterraum definieren. Vielleicht habt ihr ja einen Tipp oder etwas in der Art... danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo superstar,
kurz zur (a)
1. Kriterium:
Ist [mm] $0=\vektor{0\\0\\0} \in [/mm] S$?
dh. erfüllt der Nullvektor die Bedingung $x+y=0$ ?
2. Krit.: Seien [mm] $u_1=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2=\vektor{x_2\\y_2\\z_2} \in [/mm] S$
dh. [mm] $x_1+y_1=0$ [/mm] und [mm] $x_2+y_2=0$
[/mm]
Ist dann [mm] $u_1+u_2 \in [/mm] S$ ?
3.Krit.: Sei [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und [mm] $u=\vektor{x\\y\\z}\in [/mm] S$
Wie sieht [mm] $\lambda\cdot{}u$ [/mm] aus und ist das wieder in $S$?
bei (b) musste ganz ähnliche Überlegungen bzgl. b anstellen.
Versuch's mal, wenn du nicht weiter kommst, frag nach
Viel Erfolg und LG
schachuzipus
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Danke für deine Hilfe, aber wie muss ich f(x)= -f(x) einbeziehen. Das 0 enthalten ist ist logisch, aber + und * kann ich irgendwie nicht auf f(x) beziehen...Ich würde schreiben:
g,h [mm] \in [/mm] f(x) mit f(x)= -f(x) [mm] \in [/mm] U1
Für alle U1: (g+h)(x)= g(x)+ h(x)= h(x)+ g(x)= (h+g)(x)
habe ich damit die 2te Bedingung bewiesen???
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Hi superstar,
hab kein Wort verstanden 
Was meinst du genau?
Was ist f(x)?
beziehst du dich auf (a) oder (b)
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Fr 04.05.2007 | | Autor: | superstar |
Habe mich falsch ausgedrückt... angenommen U1:= (...f(x)= -f(x))
Weise ich den Unterraum so nach wie ich das oben gemacht habe???Wie beziehe ich in den Beweis f(x) ein??? Nochmals tausend Dank...
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Hallo nochmal,
ich nehme an, du meinst einen VR der (reellen) Funktionen derart, dass f(x)=-f(x) [mm] \forall x\in\IR [/mm] ist oder so ähnlich,
also [mm] V=\{f|f:\IR\rightarrow\IR mit f(x)=-f(x) \forall x\in\IR\}
[/mm]
sowas in der Art?!
Um das zweite Kriterium zu zeigen, schnappst du dir richtigerweise zwei Elemente f und g aus V und musst zeigen, dass dann auch gefälligst f+g in V sind. Dazu musst du die Bedingung, die die Elemente aus V ausmachen, benutzen. Und an genau dieser Stelle stimmt oben was nicht
Also mit f und [mm] g\in [/mm] V ist f(x)=-f(x) und [mm] g(x)=-g(x)\forall x\in\IR
[/mm]
Damit ist [mm] (f+g)(x)=f(x)+g(x)=-f(x)+(-(g(x))=-(f(x)+g(x))=-(f+g)(x)\in [/mm] V
War es etwa das, was du meintest?
LG
schachuzipus
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Also, Aufgabe a habe ich hinbekommen. Aber bei b habe ich noch meine Schwierigkeiten.
zu i) Wenn x=0, dann A*0=b, [mm] \in [/mm] U1 kann man das so schreiben???
zu ii) u,u1 \ U, u= A*x=b, u1=A'*x'=b' oder muss ich mit b rechnen?
Dass ich für b auswähle: [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] und damit wie in a rechne? Das kann doch nicht richtig sein.Ich bin verwirrt...wenn du mir noch einmal helfen könntest, wäre das soooo super von dir... ich brauche dringend Hilfe... Danke
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Hallo superstar,
in T sind doch die Lösungsvektoren [mm] b\in\IR^m
[/mm]
Vllt hilft es, wenn man die Def. von T nochmal genauer aufschreibt:
[mm] T=\{b\in\IR^m | \exists x\in\IR^n mit Ax=b\}
[/mm]
Nun überlege, ob der Nullvektor [mm] 0\in\IR^m, [/mm] also [mm] \vektor{0\\0\\\vdots\\0} [/mm] mit m Komponenten in T liegt.
Existiert ein [mm] x\in\IR^n [/mm] mit Ax=0? Wenn ja, wie sieht dieses x aus?
zum 2 Kriterium nimm an, dass [mm] b_1,b_2\in [/mm] T, also [mm] \exists x_1,x_2\in\IR^n [/mm] mit [mm] Ax_1=b_1 [/mm] und [mm] Ax_2=b_2
[/mm]
Was ist dann mit [mm] b_1+b_2? [/mm] Gibts da auch ein [mm] \tilde{x}\in\IR^n [/mm] mit [mm] A\tilde{x}=b_1+b_2??
[/mm]
Das dritte Kriterium gehste genauso an.
Hoffe, es bringt dich auf die richtige Fährte
LG
schachuzipus
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