Untermannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f:X\to [/mm] M glatt und [mm] g:Y\to [/mm] M sei eine eingebettete Untermannigfaltigkeit.
f und g liegen schief zueinander, d. h.:
[mm] \forall p\in Bild(f)\cap [/mm] Bild(g): [mm] T_{p}(M)=span(Bild(T_{x}(f)\cup Bild(T_{y}(g))) [/mm] für alle [mm] x\in f^{-1}(p) [/mm] und [mm] y\in g^{-1}(p)
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] N:=f^{-1}(Bild(f)\cap [/mm] Bild(g)) ist eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von X. |
Hi ho!
Also ich habe Schwierigkeiten, überhaupt zu verstehen, was dieses schief zueinander nun genau meint...
Na egal...
Zu zeigen ist ja nun "nur", dass N eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von X ist. Dafür braucht man ja erstmal ne Abbildung und da ist doch die Inklusion/Identität auf N naheliegend, da N ja schon in X liegt...
zu zeigen ist dann:
[mm] \iota:N\to [/mm] X ist glatt und injektiv
[mm] T_{x}(\iota) [/mm] ist injektiv für alle [mm] x\in [/mm] N
[mm] \iota=Id_{N} [/mm] ist ein Homöomorphismus
So jetzt sollte das doch alles klar sein oder nicht? Wo soll da was von den Voraussetzungen eingehen????
Irgendwie muss ich wohl die Aufgabe überhaupt nicht verstanden haben.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 17.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Salamence,
> Sei [mm]f:X\to[/mm] M glatt und [mm]g:Y\to[/mm] M sei eine eingebettete
> Untermannigfaltigkeit.
> f und g liegen schief zueinander, d. h.:
> [mm]\forall p\in Bild(f)\cap[/mm] Bild(g):
> [mm]T_{p}(M)=span(Bild(T_{x}(f)\cup Bild(T_{y}(g)))[/mm] für alle
> [mm]x\in f^{-1}(p)[/mm] und [mm]y\in g^{-1}(p)[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]N:=f^{-1}(Bild(f)\cap[/mm] Bild(g)) ist eine
> eingebettete Untermannigfaltigkeit von X.
> Hi ho!
>
> Also ich habe Schwierigkeiten, überhaupt zu verstehen, was
> dieses schief zueinander nun genau meint...
Ich nehme an, dass mit [mm] $T_s(Z)$ [/mm] der Tangentialraum zu Z im Punkt s gemeint ist.
Dann ist mit f und g liegen schief zueinander ganz anschaulich gemeint, dass die Bilder von f und g in M nicht "parallel" liegen, sondern in jedem Punkt Ihres Schnittes den Tangentialraum zu M in diesem Punkt sich aus den Bildern der Tangentialräumen Ihrer Urbilder aufspannen lässt.
>
> Na egal...
>
> Zu zeigen ist ja nun "nur", dass N eine eingebettete
> Untermannigfaltigkeit von X ist. Dafür braucht man ja
> erstmal ne Abbildung und da ist doch die
> Inklusion/Identität auf N naheliegend, da N ja schon in X
> liegt...
Ja, $N [mm] \subseteq [/mm] X$.
Aber muss man nicht auch zeigen, dass X eine Mannigfaltigkeit ist?
>
> zu zeigen ist dann:
> [mm]\iota:N\to[/mm] X ist glatt und injektiv
> [mm]T_{x}(\iota)[/mm] ist injektiv für alle [mm]x\in[/mm] N
> [mm]\iota=Id_{N}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist ein Homöomorphismus
Eine Teilmenge N einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X ist genau dann eine k-dimensionale eingebettete Untermannigfaltigkeit, wenn für jeden Punkt p $\in$ N eine Karte $(\varphi,U)$ von X existiert, so dass die Gleichung
$ \varphi(N\cap U)$ = $(\IR}^k \times 0) \cap \varphi(U)$
erfüllt ist. Das Zeichen 0 $\in \IR^{n-k}$ bezeichnet hier ein (n-k)-Tupel.
(Vergleiche ![[]](/images/popup.gif) eingebettete Untermannigfaltigkeit)
Ja, vielleicht kannst Du in diesem Fall für $ [mm] \varphi$ [/mm] die Inklusion/Identität auf N und U = N wählen.
>
> So jetzt sollte das doch alles klar sein oder nicht? Wo
> soll da was von den Voraussetzungen eingehen????
>
> Irgendwie muss ich wohl die Aufgabe überhaupt nicht
> verstanden haben.
Gruß
meili
|
|
|
|
