Untermannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 So 25.10.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Man identifiziere [mm] \IR^{n²} [/mm] mit dem Raum M [mm] (n,\IR) [/mm] der reellen (n x n)-Matrizen und betrachte die Untergruppe SL(n, [mm] \IR) [/mm] = {A [mm] \in [/mm] M (n, [mm] \IR) [/mm] | det A = 1} [mm] \subset [/mm] GL(n, [mm] \IR) [/mm] der invertierbaren Matrizen mit Determinante 1.
(a) Zeigen Sie, dass SL(n, [mm] \IR) [/mm] eine Untermannigfaltigkeit von [mm] \IR^{n²} [/mm] ist.
(b) Beweisen Sie für den Tangentialraum an der Einheitsmatrix id:
[mm] T_{id}SL(n, \IR) [/mm] = { B [mm] \in [/mm] M(n, [mm] \IR) [/mm] | Spur B =0}.
kursiv Hinweis:
Zeigen Sie, dass für differenzierbare Kurven A: [mm] \IR \to [/mm] M(n, [mm] \IR) [/mm] mit A(0)=id gilt:
[mm] \bruch{d}{dt}|_{t=0} [/mm] det A(t) = Spur A´(0). |
Wir haben in der Vorlesung Untermannigfaltigkeit besprochen, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich es in die Aufgabe anwenden muss. Kann mir jemand weiterhelfen?
LG Julsch
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Hallo,
> Man identifiziere [mm]\IR^{n²}[/mm] mit dem Raum M [mm](n,\IR)[/mm] der
> reellen (n x n)-Matrizen und betrachte die Untergruppe
> SL(n, [mm]\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {A [mm]\in[/mm] M (n, [mm]\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| det A = 1} [mm]\subset[/mm] GL(n,
> [mm]\IR)[/mm] der invertierbaren Matrizen mit Determinante 1.
> (a) Zeigen Sie, dass SL(n, [mm]\IR)[/mm] eine Untermannigfaltigkeit
> von [mm]\IR^{n²}[/mm] ist.
> (b) Beweisen Sie für den Tangentialraum an der
> Einheitsmatrix id:
> [mm]T_{id}SL(n, \IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { B [mm]\in[/mm] M(n, [mm]\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Spur B =0}.
> kursiv Hinweis:
> Zeigen Sie, dass für differenzierbare Kurven A:
> [mm]\IR \to[/mm] M(n, [mm]\IR)[/mm] mit A(0)=id gilt:
> [mm]\bruch{d}{dt}|_{t=0}[/mm] det A(t) = Spur A´(0).
> Wir haben in der Vorlesung Untermannigfaltigkeit
> besprochen, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich es in die
> Aufgabe anwenden muss. Kann mir jemand weiterhelfen?
>
Also die aufgabe vorrechnen werde ich nicht, aber vielleicht kann ich ein paar ideen beisteuern. ich denke, beide aufgabenteile laufen darauf hinaus, dass du ableitungen von determinanten berechnen musst. Ich weiss nicht, wieviel ihr voraussetzen koennt, aber ![[]](/images/popup.gif) hier gibt es zum beispiel die wichtigsten regeln.
zu a): hast du eine funktion [mm] $\phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ [/mm] gegeben, so ist [mm] $\phi^{-1}(a)$ [/mm] eine U-mfk. falls [mm] $\nabla \phi(x)\ne [/mm] 0$ fuer alle [mm] $x\in \phi^{-1}(a)$. $\phi$ [/mm] nennt man dann eine submersion. Diese eigenschaft musst du fuer die det-funktion pruefen mit $a=1$.
zu b): wenn du den tip zeigen kannst, steht das ergebnis fuer den tangential-raum schon da. Als veranschaulichung kannst du wieder eine einfache flaeche nehmen, die als niveau-menge [mm] $\phi=a$ [/mm] gegeben ist. zb. die sphaere [mm] $\phi(x)=\|x\|=1$. [/mm] Fuer kurven $c$ auf der flaeche ergibt sich
[mm] $0=\frac{d}{dt} \phi(c(t))=\nabla\phi\cdot [/mm] c'$. Deshalb ist der tangentialraum an solchen niveauflaechen durch diejenigen vektoren gegeben, die senkrecht auf dem gradienten von [mm] $\phi$ [/mm] stehen.
gruss
Matthias
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