Untergruppen der Prüfergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Di 28.10.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Es sei p eine Primzahl. Betrachte die sogenante Prüfergruppe, die gegeben ist durch:
[mm] \IZ _{p^{ \infty}} [/mm] := { [mm] e^{\bruch{2 \pi i}{p^{n}}k}|k,n \in \IZ [/mm] und k,n [mm] \ge [/mm] 0 } [mm] \subset \IC [/mm] \ {0}
d.h. die untergruppe von [mm] \IC [/mm] \ {0}, die aus den [mm] p^{n}-ten [/mm] Einheitswurzeln für alle n [mm] \ge [/mm] 0 besteht.
Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm] \IZ_{p^{ \infty}}.
[/mm]
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HI
also was die Gruppe ist, ist mir denke ich soweit klar.
auch einige Untergruppen kann ich angeben:
z.B. [mm] U_{t} [/mm] = { [mm] e^{\bruch{2 \pi i}{p^{t}}k}|k \in \IZ [/mm] und k [mm] \ge [/mm] 0 } für ein feste t [mm] \in \IZ [/mm]
und wenn ich mich nicht täusche müsste es auch möglich sein mehrere Exponenten zuzulassen.
Aber mir fällt nicht ein wie ich hier was Beweisen soll bzw. Bestimmen. Müsste doch auch möglich sein das man bei [mm] U_{t} [/mm] für k nur gerade zahlen zulasst, währe das nicht auch eine Untergruppe? Und wie soll ich die dann alle finden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 28.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> also was die Gruppe ist, ist mir denke ich soweit klar.
> auch einige Untergruppen kann ich angeben:
> z.B. [mm]U_{t}= \{ e^{\bruch{2 \pi i}{p^{t}}k}|k \in \IZ \text { und }k \ge 0\}[/mm] für ein feste t [mm]\in \IZ[/mm]
damit hast du im prinzip schon alle echten untergruppen.
> und wenn ich mich nicht täusche müsste es auch möglich sein
> mehrere Exponenten zuzulassen.
>
> Aber mir fällt nicht ein wie ich hier was Beweisen soll
> bzw. Bestimmen. Müsste doch auch möglich sein das man bei
> [mm]U_{t}[/mm] für k nur gerade zahlen zulasst, währe das nicht auch
> eine Untergruppe?
ja, das sind auch untergruppen. aber überlege dir, was passiert: je nachdem ob $p$ gerade oder ungerade ist, kürzt sich diese $2$ mit einem $p$ im nenner oder [mm] $\zeta \mapsto \zeta^2$ [/mm] ist ein automorphismus der gruppe der [mm] $p^n$-ten [/mm] einheitswurzeln.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Pawelos |
> ja, das sind auch untergruppen. aber überlege dir, was
> passiert: je nachdem ob [mm]p[/mm] gerade oder ungerade ist, kürzt
> sich diese [mm]2[/mm] mit einem [mm]p[/mm] im nenner oder [mm]\zeta \mapsto \zeta^2[/mm]
> ist ein automorphismus der gruppe der [mm]p^n[/mm]-ten
> einheitswurzeln.
das verstehe ich nicht ganz p kann doch nur ungerade sein oder p = 2.
und was meinst du mit [mm] \zeta \mapsto \zeta^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Mi 29.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> > ja, das sind auch untergruppen. aber überlege dir, was
> > passiert: je nachdem ob [mm]p[/mm] gerade oder ungerade ist, kürzt
> > sich diese [mm]2[/mm] mit einem [mm]p[/mm] im nenner oder [mm]\zeta \mapsto \zeta^2[/mm]
> > ist ein automorphismus der gruppe der [mm]p^n[/mm]-ten
> > einheitswurzeln.
>
> das verstehe ich nicht ganz p kann doch nur ungerade sein
> oder p = 2.
du kannst in der formulierung natürlich überall "$p$ gerade" durch "$p = 2$" ersetzen, wenn dir das dann klarer ist.
> und was meinst du mit [mm]\zeta \mapsto \zeta^2[/mm]
die abbildung, die jedes element auf ihr quadrat schickt, ist ein isomorphismus der beiden oben erwähnten gruppen im fall $p$ ungerade (sogar ein automorphismus, da die megen im endeffekt sogar wieder gleich sind), wenn dir das unklar ist, rechen das mal für $p = 3$ nach, dann siehst du woran das liegt (beweisen kann man das mit dem lemma von bezout / erweitertem euklidischen algorithmus).
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Pawelos |
> die abbildung, die jedes element auf ihr quadrat schickt,
> ist ein isomorphismus der beiden oben erwähnten gruppen im
> fall [mm]p[/mm] ungerade (sogar ein automorphismus, da die megen im
> endeffekt sogar wieder gleich sind), wenn dir das unklar
> ist, rechen das mal für [mm]p = 3[/mm] nach, dann siehst du woran
> das liegt (beweisen kann man das mit dem lemma von bezout /
> erweitertem euklidischen algorithmus).
OK aber ich verstehe nicht wie mir das bei der lösung helfen soll.
Das [mm] \zeta \mapsto \zeta^2 [/mm] ein automorphismus ist hilf mir doch nicht ? oder übersehe ich was???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Mi 29.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
stelle deine fragen besser als "fragen", denn als "mitteilungen", dann erhälst du meist schneller eine reaktion.
> OK aber ich verstehe nicht wie mir das bei der lösung
> helfen soll.
> Das [mm]\zeta \mapsto \zeta^2[/mm] ein automorphismus ist hilf mir
> doch nicht ? oder übersehe ich was???
ich habe damit nur deine frage aus deinem ersten post beantwortet, ob das nicht noch weitere untergruppen sind.
zur aufgabe: nimm an, $U [mm] \leq \mathbb{Z}_{p^\infty}$ [/mm] sei endlich und $u [mm] \in [/mm] U$ sei ein element maximaler ordnung $o(u) = [mm] p^m$ [/mm] (warum gibt es sowas? warum hat die ordnung diese form?). zeige nun, dass $U$ schon von $u$ erzeugt wird.
wie kann man im fall einer unendlichen untergruppe vorgehen?
grüße
andreas
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