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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:17 Mi 09.05.2007 | | Autor: | taschi |
| Aufgabe | Sei M eine beliebige Menge und a [mm] \in [/mm] M. Zeige, dass
Ua:={f [mm] \in [/mm] S(M) | f(a)=a}
Untergruppe der symmetrischen Gruppe (S(M), °) ist. Bestimme ihre Konjugierten g°Ua°g^-1, g [mm] \in [/mm] S(M).
Zeige außerdem: Ua [mm] \cong (M\{a}). [/mm] |
Hallo, kann jemand was mit dieser Aufgabe aufangen oder sie evtl lösen? Ich kann damit wirklich nichts anfangen :)
Vlg
Natascha
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Natascha!
Ich gehe mal davon aus, daß M eine endliche Menge ist. Die symmetrische Gruppe [mm](S(M), °)[/mm] ist die Gruppe der bijektiven Abbildungen [mm]\varphi:M \to M[/mm] bzw. der Permutationen der m=|M| Elemente von M.
[mm]U_a \subseteq S(M)[/mm] enthält alle Permutationen mit einem Fixpunkt, d.h. einem Element [mm]a \in M[/mm], das von einer Permutation [mm] \pi [/mm] unverändert gelassen wird: [mm]\pi(a) = a[/mm]. Eine solche Permutation sieht dann so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & ... & a & ... & m \\ p_1 & p_2 & ... & a & ... & p_m }
[/mm]
Dabei sind die [mm]p_i[/mm] Elemente von M, die durch die Zahlen {1,...,m} repräsentiert werden.
Zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft von [mm]U_a[/mm] zeige für [mm]\pi_1, \pi_2 \in U_a[/mm], daß [mm]\pi_1 \circ \pi_2^{-1} \in U_a[/mm] gilt. Da beide dieser Permutation die Position des Fixpunktes unangetastet lassen, tut es auch die Verknüpfung. Damit wäre die Untergruppeneigenschaft schon bewiesen.
Hoffe, das hilft schon mal.
Grüße
Karsten
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