Untergruppe von sym. Gruppe S4 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 So 21.01.2007 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm] S_4, [/mm] die von den Elementen (1234) und (12)(34) erzeugt wird. |
Hi,
ich war seit Ende der Weihnachtsferien ordentlich krank und hab so einiges verpasst. :/ Leider hinke ich jetzt ein wenig hinterher.
Ich weiß nicht, wie ich auf eine Untergruppe von [mm] S_4 [/mm] komme bzw. wie ich die mit den gegebenen Elementen bestimmen soll.
Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben, damit ich da ein Stückchen weiter komme?
Danke
LG,
Andi
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mo 22.01.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Andreas, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie die Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm]S_4,[/mm]
> die von den Elementen (1234) und (12)(34) erzeugt wird.
> Hi,
>
> ich war seit Ende der Weihnachtsferien ordentlich krank und
> hab so einiges verpasst. :/ Leider hinke ich jetzt ein
> wenig hinterher.
> Ich weiß nicht, wie ich auf eine Untergruppe von [mm]S_4[/mm] komme
> bzw. wie ich die mit den gegebenen Elementen bestimmen
> soll.
> Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben, damit ich da ein
> Stückchen weiter komme?
In der gesuchten Untergruppe müssen doch alle Potenzen und Produkte der beiden gegebenen Elemente liegen. Wenn dir nichts Besseres einfällt, kannst du dich so an die Lösung heranbaggern.
Etwas pfiffiger ist folgender Ansatz: (1234) beschreibt die Drehung eines Quadrates um 90° und (12)(34) die Spiegelung des Quadrats an einer Seitenhalbierenden. Diese beiden 'Symmetrien' erzeugen die Diedergruppe [mm] D_{4} [/mm] mit 8 Elementen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mo 22.01.2007 | | Autor: | gore |
hi,
danke für deine antwort... =)
ok, (1234) und (12)(34) erzeugen als die Diedergruppe [mm] D_4.
[/mm]
[mm] D_4 [/mm] = {(1234),(4123),(3412),(2341),(2143),(4321),(1432),(3214)} = <(12)(34),(1234)> < [mm] S_4
[/mm]
(Anmerkung: über den Elementen in [mm] D_4 [/mm] gehört natürlich jeweils eine Zeile mit 1234 ;) )
Stimmt das?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Di 23.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
>
> ok, (1234) und (12)(34) erzeugen als die Diedergruppe [mm]D_4.[/mm]
>
> [mm]D_4[/mm] =
> {(1234),(4123),(3412),(2341),(2143),(4321),(1432),(3214)} =
> <(12)(34),(1234)> < [mm]S_4[/mm]
> (Anmerkung: über den Elementen in [mm]D_4[/mm] gehört natürlich
> jeweils eine Zeile mit 1234 ;) )
Von dieser Schreibweise muß ich dringend abraten! Entweder schreibt man 2 Zeilen übereinander oder man wählt die Zyklen-Schreibweise. Wenn man das wie hier mischt, führt das zu Chaos und Mißverständnissen. In der Zyklen-Schreibweise sieht die Untergruppe dann so aus (gleiche Reihenfolge wie bei dir):
{(1)=Id.=Drehung um 0°, (1432)=Drehung um 270°, (13)(24)=Drehung um 180°, (1234)=Drehung um 90°, (12)(34)=Spiegelung an der senkr. Mittelachse, (14)(23)=Spiegelung an der waagerechten Mittelachse, (24)=Spiegelung an der Diagonalen durch 1 und 3, (13)=Spiegelung an der Diagonalen durch 2 und 4}
Gruß aus HH_Harburg
Dieter
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