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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei $H$ eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe [mm] $(G,\*)$, [/mm] so dass
$h,h' [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] h' [mm] \* h^{-1} \in [/mm] H$
Zeige, dass $H$ eine Untergruppe ist. |
Hallo,
es Gilt $H [mm] \ne \emptyset$ [/mm] und $h,h' [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow h'\* h^{-1} \in [/mm] H$
$z:= h' ^{-1}$
also ist auch [mm] $(h'\* z)\* [/mm] z=z$ und [mm] $h'\*((h'\*z)\*z)^{-1}=h'\*(e\*h^{-1})^{-1}=h'\*(h^{-1})^{-1}=a\* [/mm] b [mm] \in [/mm] H$.
Und damit ist es eine Untegruppe von G.
Ist das so oK?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Do 21.04.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Deine schreibweise ist verwirrend. warum muß h'^{-1} einen anderen Namen bekommen? dadurch wird nur alles völlig verwirrend, und am schluss tauchen plötzlich a und b auf???
due willst 1. 1 bzw e \in H, das ist trivial, muss aber gezeigt werden.
2. wenn a\in H und b\in H dann auch a*b
oder mit h Und h' auch h*h'
wo genau in deiner kette hast du das gezeigt?
dein erster Schritt sagt h'^{-1}=1*h'^{-1} im zweiten wird plötzlich aus z=h'^{-1} h^{-1} und am ende ein ab von dem man nichts weiss.
ich versteh nur Bahnhof
geh aus von a,b \in H dann weisst du ab^{-1}\in H und ba^-1}\in H nach Vors.
dann versuch zu zeigen dass daraus folgt ab\in H
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Do 21.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> zeige neutrales Element
> verwirrend
$ H [mm] \ne \emptyset \wedge [/mm] h,h' [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] h' * [mm] h^{-1} \in [/mm] H $
[mm] $\Rightarrow h^{1}\* h^{-1} [/mm] = e [mm] \in [/mm] H $
[mm] $\Rightarrow [/mm] (h' [mm] \* h'^{-1})\* [/mm] h'^{-1} = h'^{-1}$
[mm] $\Rightarrow [/mm] h' [mm] \* [/mm] ((h [mm] \* [/mm] h'^{-1}) [mm] \* h^{-1})^{-1} [/mm] = h' (e [mm] \* h^{-1})^{-1} [/mm] = h' [mm] \* (h^{-1})^{-1} [/mm] = h' [mm] \* [/mm] h [mm] \in [/mm] H$
> gruss
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo
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> > zeige neutrales Element
>
> > verwirrend
>
> [mm]H \ne \emptyset \wedge h,h' \in H \Rightarrow h' * h^{-1} \in H[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow h^{1}\* h^{-1} = e \in H[/mm]
Vestehe ich nicht, wieso [mm] $h^{\red{1}}$ [/mm] und wieso ist das $e$?
Woraus soll das folgen?
>
> [mm]\Rightarrow (h' \* h'^{-1})\* h'^{-1} = h'^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow h' \* ((h \* h'^{-1}) \* h^{-1})^{-1} = h' (e \* h^{-1})^{-1} = h' \* (h^{-1})^{-1} = h' \* h \in H[/mm]
Hier hast du die Existenz des neutralen Elementes gezeigt??
So steht's zumindest drüber ...
Ich verstehe deine ganze Folgerungskett nicht, du musst dir echt angewöhnen, sauberer zu begründen und aufzuschreiben.
Denke daran, dass das ja ein Korrektor, der deine Gedanken nicht kennt, nachvollziehen können muss, ohne sich stundenlang den Kopf zerbrechen zu müssen, was du wohl meinen könntest.
Schreibe ruhig begründenden Text dazu ...
Mit [mm]h=h'[/mm] folgt doch direkt, dass [mm]hh^{-1}=e\in H[/mm]
So, nun weiter:
Assoziativität ist klar, die wird vererbt von der Gruppe
Bleibt zu zeigen:
1) Existenz einer Inversen zu jedem Element [mm]h\in H[/mm]
2) Abgeschlossenheit: mit [mm]h,h'\in H[/mm] ist [mm]hh'\in H[/mm]
Das mache nun mal und schreibe es so auf, dass man versteht, was du machst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 21.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
> Folgepfeile
Die sind also falsch!
> abgeschlossenheit und existenz der Inversen
Das wollte ich zeigen!
Existenz der Inversen:
$ (h' * h'^{-1})* h'^{-1} = h'^{-1} [mm] \gdw [/mm] ~ [mm] \exists h^{-1} \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H$
Abgeschlossenheit:
$ h' * ((h * h'^{-1}) * [mm] h^{-1})^{-1} [/mm] = h' (e * [mm] h^{-1})^{-1} [/mm] = h' * [mm] (h^{-1})^{-1} [/mm] = h' * h [mm] \in [/mm] H $
> GruB
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> > Folgepfeile
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> Die sind also falsch!
>
> > abgeschlossenheit und existenz der Inversen
>
> Das wollte ich zeigen!
>
> Existenz der Inversen:
> [mm](h' * h'^{-1})* h'^{-1} = h'^{-1} \gdw ~ \exists h^{-1} \forall h \in H[/mm]
Kapiere ich nicht.
Du musst doch zeigen, dass für bel. gewähltes [mm]h\in H[/mm] auch [mm]h^{-1}\in H[/mm] ist.
Wie hängen [mm]h'[/mm] und [mm]h[/mm] bei dir zusammen?
Mache es so:
Wenn du meinem Hinweis oben folgst und zeigst, dass [mm]e\in H[/mm] ist, so ist mit [mm]h\in H[/mm] doch nach Voraussetzung [mm]eh^{-1}=h^{-1}\in H[/mm]
Fertig!
>
> Abgeschlossenheit:
>
> [mm]h' * ((h * h'^{-1}) * h^{-1})^{-1} = h' (e * h^{-1})^{-1} = h' * (h^{-1})^{-1} = h' * h \in H[/mm]
Hmm, nimm [mm]g,h\in H[/mm] her, dann ist zu zeigen, dass [mm]gh\in H[/mm] ist.
Mit [mm]g,h\in H[/mm] ist nach dem, was zu den Inversen steht, auch [mm]h^{-1}\in H[/mm]
Also [mm]\underbrace{g\left(h^{-1}\right)^{-1}}_{=gh}\in H[/mm] nach Vorauss.
Du schwurbelst so kompliziert und ungenau rum.
Versuche echt, deine Gedanken klarer zu formulieren.
Schreibe auf, was gegeben ist, was zu zeigen ist und halte dich strikt daran.
Du musst nicht zaubern 
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> > GruB
>
> Danke!
>
>
> Gruss
> kushkush
LG
schachuzipus
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