Untergruppe - komplexe Zahlen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 So 29.04.2007 | | Autor: | Peter2 |
| Aufgabe | Die Aufgabe lautet: Gegeben sei die komplexe Zahl a = (Wurzel(5) - 1)/4 + i*(Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))/4.
Bestimmen Sie die von a erzeugte Untergruppe <a> Teilmenge von (C,*). |
Mein Gedanke dabei:
Ich rechne solange a*a, bis ich wieder a erhalte und packe alle Lösungen in eine Menge, das ist die Untergruppe. Richtig?
Ich habe also angefangen zu rechnen - da ich auf so komische Zahlen komme, bitte ich jemanden, der das gut kann, das zu kontrollieren, ich fürchte, da elementare Fehler gemacht zu haben... Vielen, vielen Dank!
Berechnung von a*a:
a*a = (x*x - y*y) + i*2xy
-->
x*x = ((Wurzel(5) - 1)*(Wurzel (5) - 1))/4*4 = (5 - Wurzel(5) - Wurzel(5) + 1)/16 = (6 - 2*Wurzel(5)/16 = (3-Wurzel(5))/8
y*y = (((Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))*(Wurzel(10+2*Wurzel(5))))/4*4 = (10 + 2*Wurzel5)/16 = (5 + Wurzel(5))/8
x*x - y*y = ((3 - Wurzel(5)) - (5 + Wurzel(5)))/8 = (-8 - 2*Wurzel(5))/8 = (-4 - Wurzel(5))/4
2*x*y = 2* ((Wurzel(5) - 1)*(Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))/4*4 = (Wurzel(5)*(Wurzel(10 + 2* Wurzel(5)) - Wurzel (10 + 2*Wurzel(5)))/8 = (Wurzel(50 + 10*Wurzel(5) - Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))/8
Also käme raus: a*a = ((3 - Wurzel(5)) - (5 + Wurzel(5)))/8 = (-8 - 2*Wurzel(5))/8 = (-4 - Wurzel(5))/4 + i*(Wurzel(50 + 10*Wurzel(5) - Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))/8
Bevor ich weitermache, würde ich gerne wissen, ob das zunächst richtig ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 So 29.04.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Peter! ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Aufgabe lautet: Gegeben sei die komplexe Zahl a =
> (Wurzel(5) - 1)/4 + i*(Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))/4.
> Bestimmen Sie die von a erzeugte Untergruppe <a> Teilmenge
> von (C,*).
> Mein Gedanke dabei:
>
> Ich rechne solange a*a, bis ich wieder a erhalte und packe
> alle Lösungen in eine Menge, das ist die Untergruppe.
> Richtig?
>
> Ich habe also angefangen zu rechnen - da ich auf so
> komische Zahlen komme, bitte ich jemanden, der das gut
> kann, das zu kontrollieren, ich fürchte, da elementare
> Fehler gemacht zu haben... Vielen, vielen Dank!
>
> Berechnung von a*a:
>
> a*a = (x*x - y*y) + i*2xy
>
> -->
> x*x = ((Wurzel(5) - 1)*(Wurzel (5) - 1))/4*4 = (5 -
> Wurzel(5) - Wurzel(5) + 1)/16 = (6 - 2*Wurzel(5)/16 =
> (3-Wurzel(5))/8
>
> y*y = (((Wurzel(10 +
> 2*Wurzel(5)))*(Wurzel(10+2*Wurzel(5))))/4*4 = (10 +
> 2*Wurzel5)/16 = (5 + Wurzel(5))/8
>
> x*x - y*y = ((3 - Wurzel(5)) - (5 + Wurzel(5)))/8 = (-8 -
> 2*Wurzel(5))/8 = (-4 - Wurzel(5))/4
>
> 2*x*y = 2* ((Wurzel(5) - 1)*(Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))/4*4
> = (Wurzel(5)*(Wurzel(10 + 2* Wurzel(5)) - Wurzel (10 +
> 2*Wurzel(5)))/8 = (Wurzel(50 + 10*Wurzel(5) - Wurzel(10 +
> 2*Wurzel(5)))/8
>
> Also käme raus: a*a = ((3 - Wurzel(5)) - (5 + Wurzel(5)))/8
> = (-8 - 2*Wurzel(5))/8 = (-4 - Wurzel(5))/4 + i*(Wurzel(50
> + 10*Wurzel(5) - Wurzel(10 + 2*Wurzel(5)))/8
>
> Bevor ich weitermache, würde ich gerne wissen, ob das
> zunächst richtig ist?
So ist das insbesondere in dieser alphanumerischen Schreibweise nur für beinharte Rechenknechte verdaulich. Kennst du andere Schreibweisen für komplexe Zahlen? Exponentialdarstellung? Trigonometrische Form? Kannst du dir klarmachen, evtl. mit Hilfe eines Taschenrechners, wo dieses Ding in der komplexen Zahlenebene liegt? Und dann gewissermaßen raten, wie die Untergruppe aussieht?
Zu deiner eigentlichen Frage: Der Ansatz ist natürlich richtig, aber ich habe es nicht nachgerechnet, und würde auch versuchen, eine pfiffigere Lösung zu finden.
Schönen Sonntag
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 29.04.2007 | | Autor: | Peter2 |
| Aufgabe | Kennst du andere Schreibweisen für komplexe Zahlen? Exponentialdarstellung? Trigonometrische Form? Kannst du dir klarmachen, evtl. mit Hilfe eines Taschenrechners, wo dieses Ding in der komplexen Zahlenebene liegt? Und dann gewissermaßen raten, wie die Untergruppe aussieht?
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Nein, sowas kenne ich leider nicht. Wir haben erst damit angefangen... Kannst du mir vielleicht eine mögliche andere Darstellung erklären? Das wäre supernett!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 So 29.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Peter
1. wenn du a immer wieder mult. musst du zuerst fesstellen, ob der Betrag 1 ist, sonst kaan a nie wieder auftreten.
2. Wenn man kompl. Zahlen multipliziert, multipl. sich die Beträge, und die Winkel zur reellen Achse addieren sich. Du kannst also a durch mult. nur irgendwann wieder erreichen, wenn der Winkel ein rationaler Teil von [mm] 2\pi [/mm] bzw 360° ist.
der tan des Winkels ist [mm] tan\alpha=\bruch{Im(a)}{Re(a)}
[/mm]
eine kompl. Zahl kann man deshalb auch immer schrieben als :
[mm] a=r*(cos\alpha [/mm] + [mm] isin\alpha)
[/mm]
dann ist [mm] a^n=r^n*(cosn*\alpha [/mm] + [mm] isinn*\alpha)
[/mm]
noch einfacher fasst man das zusammen als : [mm] a=r*e^{i\alpha}, [/mm] aber wenn ihr das noch nicht besprochen habt, solltest du es vielleicht nicht verwenden.
aber die Darstellung [mm] a=r*(cos\alpha [/mm] + [mm] isin\alpha) [/mm] kannst du direkt ablesen, wenn du irgend ne komplexe Zahl einzeichnest. die Winkeladdition ergibt sich dann aus den Additionstheoremen für Winkel oder aus der Def. der Multiplikation.
Deine Rechnung, die du ohne formeleditor aufgeschrieben hast zu überprüfen überfordert meine Geduld. Es ist wirklich einfach unseren Formeleditor zu benutzen (unter Eingabefenster.
hier solltest du für a finden r=1, [mm] \alpha=\pi/10, [/mm] d.h. [mm] a^{20}=1 [/mm] r=1 einfach den Betrag ausrechnen, für [mm] \alpha [/mm] kann man das durch tan und arctan ja nur vermuten, da musst du nachlesen bei 5 oder 10-Eck winkel, evt. "goldener Schnitt"
Gruss leduart
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