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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgende Teilmenge U eine Untergruppe der gegebenen Gruppe G ist:
G beliebig, U = [mm] \{ a \in G | ab = ba, \forall b \in G \} [/mm] |
Guten Abend,
habe mich an dieser Aufgabe versucht, aber habe gewisse Schwierigkeiten.
Würde mich über Hilfe freuen.
1. Da a [mm] \in [/mm] G und aa = aa [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. Abgeschlossenheit: Hier fängt es leider schon an... Seien x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] xy = yx. Sei u:= xy. Sei b [mm] \in [/mm] G beliebig. Nun muss ich doch zeigen, dass ub = bu ist. Nun das geht doch eigentlich nur unter der Voraussetzung das G abelsch ist, oder täusche ich mich da?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Fr 15.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ x [mm] \in [/mm] U$ bedeutet doch, dass x mit allen Elementen aus g kommutiert. $y [mm] \in [/mm] U$ dasselbe. Jetz muss auch gelten : x*y*b=b*x*y für JEDES [mm] b\in [/mm] G
und jetzt benutz eben, dass yb=by und xb=bx
(es ist ja nicht nur xy=yx , obwohl das ja auch gelten muss da [mm] x\in [/mm] G.
dadurch, dass du xy nen neuen Namen gibst siehst du das wesentliche nicht mehr
Gruss leduart
Editiert von Marcel, 10.32 Uhr. Anmerkung:
@ Leduart: Bitte anstelle von [mm] [nomm]$x\inU$[/nomm] ($\Rightarrow$: [/mm] angezeigt wird [mm] $x\inU$) [/mm] unter Beachtung von Leerzeichen $x [mm] \in [/mm] U$ [mm] ($\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] U$) schreiben! Ggf. Vorschaufunktion benutzen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh man. Natürlich. Danke dir :)
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Überprüfen Sie, ob die folgende Teilmenge U eine
> Untergruppe der gegebenen Gruppe G ist:
>
> G beliebig, U = [mm]\{ a \in G | ab = ba, \forall b \in G \}[/mm]
>
> Guten Abend,
>
> habe mich an dieser Aufgabe versucht, aber habe gewisse
> Schwierigkeiten.
> Würde mich über Hilfe freuen.
>
> 1. Da a [mm]\in[/mm] G und aa = aa [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> 2.
> Abgeschlossenheit: Hier fängt es leider schon an... Seien
> x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] xy = yx. Sei u:= xy. Sei b [mm]\in[/mm] G
> beliebig. Nun muss ich doch zeigen, dass ub = bu ist. Nun
> das geht doch eigentlich nur unter der Voraussetzung das G
> abelsch ist, oder täusche ich mich da?
Da fehlt aber noch ein Schritt zum Beweis!
Zeige noch
3) [mm]x\in U\Rightarrow x^{-1}\in U[/mm] ...
Oder verbinde 2) und 3) zu einem Schritt und zeige: [mm]x,y\in U\Rightarrow xy^{-1}\in U[/mm]
> LG Loriot95
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Seien x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] xy = yx [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] yxy^{-1} \Rightarrow y^{-1}x [/mm] = [mm] xy^{-1} \Rightarrow xy^{-1} \in [/mm] U. Somit ist U eine Untergruppe von G. Stimmt das so?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Fr 15.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Seien x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] xy = yx [mm]\Rightarrow[/mm] x =
> [mm]yxy^{-1} \Rightarrow y^{-1}x[/mm] = [mm]xy^{-1} \Rightarrow xy^{-1} \in[/mm]
> U. Somit ist U eine Untergruppe von G. Stimmt das so?
Sag mal ! Das ist doch nicht Dein Ernst ! Natürlich stimmt das nicht, denn Du hast die definierende Eigenschaft von U überhaupt nicht benutzt !!! Ist Dir das nicht aufgefallen ?
Seien $x,y [mm] \in [/mm] U$
Dann gilt: [mm] $xy^{-1} \in [/mm] U$ [mm] \gdw $xy^{-1}b=bxy^{-1}$ [/mm] für jedes b [mm] \in [/mm] G.
Du mußt also zeigen: [mm] $xy^{-1}b=bxy^{-1}$ [/mm] für jedes b [mm] \in [/mm] G.
FRED
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Sag mal ! Das ist doch nicht Dein Ernst ! Natürlich stimmt
> das nicht, denn Du hast die definierende Eigenschaft von U
> überhaupt nicht benutzt !!! Ist Dir das nicht aufgefallen
> ?
Offensichtlich nicht. Tut mir leid. War keine böse Absicht.
> Seien [mm]x,y \in U[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]xy^{-1} \in U[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für
> jedes b [mm]\in[/mm] G.
>
> Du mußt also zeigen: [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für jedes b [mm]\in[/mm]
> G.
>
> FRED
> >
> > LG Loriot95
>
Ok also noch mal. Seien x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] xy [mm] \in [/mm] U. Sei b [mm] \in [/mm] G. Dann gilt: xyb = bxy [mm] \Rightarrow xyby^{-1} [/mm] = bx [mm] \Rightarrow yxby^{-1} [/mm] = bx [mm] \Rightarrow xby^{-1} [/mm] = [mm] y^{-1}bx \Rightarrow bxy^{-1} [/mm] = [mm] xy^{-1}b \Rightarrow xy^{-1} \in [/mm] U. So müsste es nun stimmen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Sag mal ! Das ist doch nicht Dein Ernst ! Natürlich stimmt
> > das nicht, denn Du hast die definierende Eigenschaft von U
> > überhaupt nicht benutzt !!! Ist Dir das nicht aufgefallen
> > ?
> Offensichtlich nicht. Tut mir leid. War keine böse
> Absicht.
kann passieren...
> > Seien [mm]x,y \in U[/mm]
> >
> > Dann gilt: [mm]xy^{-1} \in U[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für
> > jedes b [mm]\in[/mm] G.
> >
> > Du mußt also zeigen: [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für jedes b [mm]\in[/mm]
> > G.
> >
> > FRED
> > >
> > > LG Loriot95
> >
>
> Ok also noch mal. Seien x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] xy [mm]\in[/mm] U. Sei
> b [mm]\in[/mm] G. Dann gilt: xyb = bxy [mm]\Rightarrow xyby^{-1}[/mm] = bx
> [mm]\Rightarrow yxby^{-1}[/mm] = bx [mm]\Rightarrow xby^{-1}[/mm] = [mm]y^{-1}bx \blue{\Rightarrow} bxy^{-1}[/mm]
> = [mm]xy^{-1}b \Rightarrow xy^{-1} \in[/mm] U. So müsste es nun
> stimmen.
ja, das ist korrekt (nachträglicher Einwand: sofern Du die Gleichheit [mm] $xy^{-1}=y^{-1}x$ [/mm] für $x,y [mm] \in [/mm] U$ begründest, denn diese benutzt Du bei Deiner letzten Folgerung oben: eigentlich folgt da nämlich erstmal nur [mm] $bxy^{-1}=y^{-1}xb$!). [/mm] Ich hatte mir eine kleine andere Variante überlegt:
[mm] $$xy^{-1}b=xby^{-1}=bxy^{-1}$$
[/mm]
wenn man zuvor gezeigt hat, dass $y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow y^{-1} \in U\,.$
[/mm]
Allerdings ist man dann eigentlich schon fertig, wenn man das vorher gezeigte gezeigt hat. Ist mir aber eben erst im Nachhinein aufgefallen (habe die Untergruppenkriterien nochmal nachgeschlagen!)
P.S.:
Zum nachträglichen Einwand (Kontrolle für Deine Überlegungen):
$$x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] xy=yx$$
wegen $x [mm] \in [/mm] U, y [mm] \in [/mm] G$, und daher folgt, wenn man letzte Gleichung von links mit [mm] $y^{-1} \in [/mm] G$ und danach von rechts mit [mm] $y^{-1} \in [/mm] G$ multipliziert (gemeint ist die Multiplikation bzgl. [mm] $G\,,$ [/mm] und natürlich nicht die auf [mm] $U\,$ [/mm] eingeschränkte Multiplikation)
[mm] $$y^{-1}x=xy^{-1}\,.$$
[/mm]
Also gilt $x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow xy^{-1}=y^{-1}x\,.$
[/mm]
(Eigentlich könnte man hier vollkommen analog auch direkt $y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow y^{-1} \in [/mm] U$ zeigen.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für eure Hilfe und Mühe.
> > > ?
> > Offensichtlich nicht. Tut mir leid. War keine böse
> > Absicht.
>
> kann passieren...
>
> > > Seien [mm]x,y \in U[/mm]
> > >
> > > Dann gilt: [mm]xy^{-1} \in U[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für
> > > jedes b [mm]\in[/mm] G.
> > >
> > > Du mußt also zeigen: [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für jedes b [mm]\in[/mm]
> > > G.
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > LG Loriot95
> > >
> >
> > Ok also noch mal. Seien x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] xy [mm]\in[/mm] U. Sei
> > b [mm]\in[/mm] G. Dann gilt: xyb = bxy [mm]\Rightarrow xyby^{-1}[/mm] = bx
> > [mm]\Rightarrow yxby^{-1}[/mm] = bx [mm]\Rightarrow xby^{-1}[/mm] = [mm]y^{-1}bx \blue{\Rightarrow} bxy^{-1}[/mm]
> > = [mm]xy^{-1}b \Rightarrow xy^{-1} \in[/mm] U. So müsste es nun
> > stimmen.
>
> ja, das ist korrekt (nachträglicher Einwand: sofern Du die
> Gleichheit [mm]xy^{-1}=y^{-1}x[/mm] für [mm]x,y \in U[/mm] begründest, denn
> diese benutzt Du bei Deiner letzten Folgerung oben:
> eigentlich folgt da nämlich erstmal nur
> [mm]bxy^{-1}=y^{-1}xb[/mm]!).
Ich dachte das folgt direkt daraus, da x ein Element aus U ist und man somit die Kommutativität anwenden kann.
>Ich hatte mir eine kleine andere
> Variante überlegt:
> [mm]xy^{-1}b=xby^{-1}=bxy^{-1}[/mm]
> wenn man zuvor gezeigt hat, dass [mm]y \in U \Rightarrow y^{-1} \in U\,.[/mm]
>
> Allerdings ist man dann eigentlich schon fertig, wenn man
> das vorher gezeigte gezeigt hat. Ist mir aber eben erst im
> Nachhinein aufgefallen (habe die Untergruppenkriterien
> nochmal nachgeschlagen!)
>
> P.S.:
> Zum nachträglichen Einwand (Kontrolle für Deine
> Überlegungen):
> [mm]x,y \in U \Rightarrow xy=yx[/mm]
> wegen [mm]x \in U, y \in G[/mm], und
> daher folgt, wenn man letzte Gleichung von links mit [mm]y^{-1} \in G[/mm]
> und danach von rechts mit [mm]y^{-1} \in G[/mm] multipliziert
> (gemeint ist die Multiplikation bzgl. [mm]G\,,[/mm] und natürlich
> nicht die auf [mm]U\,[/mm] eingeschränkte Multiplikation)
> [mm]y^{-1}x=xy^{-1}\,.[/mm]
> Also gilt [mm]x,y \in U \Rightarrow xy^{-1}=y^{-1}x\,.[/mm]
>
> (Eigentlich könnte man hier vollkommen analog auch direkt
> [mm]y \in U \Rightarrow y^{-1} \in U[/mm] zeigen.)
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Sa 16.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für eure Hilfe und Mühe.
>
>
> > > > ?
> > > Offensichtlich nicht. Tut mir leid. War keine böse
> > > Absicht.
> >
> > kann passieren...
> >
> > > > Seien [mm]x,y \in U[/mm]
> > > >
> > > > Dann gilt: [mm]xy^{-1} \in U[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für
> > > > jedes b [mm]\in[/mm] G.
> > > >
> > > > Du mußt also zeigen: [mm]xy^{-1}b=bxy^{-1}[/mm] für jedes b [mm]\in[/mm]
> > > > G.
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > LG Loriot95
> > > >
> > >
> > > Ok also noch mal. Seien x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] xy [mm]\in[/mm] U. Sei
> > > b [mm]\in[/mm] G. Dann gilt: xyb = bxy [mm]\Rightarrow xyby^{-1}[/mm] = bx
> > > [mm]\Rightarrow yxby^{-1}[/mm] = bx [mm]\Rightarrow xby^{-1}[/mm] = [mm]y^{-1}bx \blue{\Rightarrow} bxy^{-1}[/mm]
> > > = [mm]xy^{-1}b \Rightarrow xy^{-1} \in[/mm] U. So müsste es nun
> > > stimmen.
> >
> > ja, das ist korrekt (nachträglicher Einwand: sofern Du
> die
> > Gleichheit [mm]xy^{-1}=y^{-1}x[/mm] für [mm]x,y \in U[/mm] begründest,
> denn
> > diese benutzt Du bei Deiner letzten Folgerung oben:
> > eigentlich folgt da nämlich erstmal nur
> > [mm]bxy^{-1}=y^{-1}xb[/mm]!).
> Ich dachte das folgt direkt daraus, da x ein Element aus U
> ist und man somit die Kommutativität anwenden kann.
ja stimmt, da hab' ich zu kompliziert gedacht ^^:
Wegen $x [mm] \in [/mm] U$ gilt ja auch [mm] $xy^{-1}=y^{-1}x\,,$ [/mm] da [mm] $y^{-1} \in G\,.$ [/mm] Dann ist Deine Überlegung absolut korrekt!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok. Seien x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] xy = yx [mm]\Rightarrow[/mm] x =
> [mm]yxy^{-1} \Rightarrow y^{-1}x[/mm] = [mm]xy^{-1} \Rightarrow xy^{-1} \in[/mm]
> U. Somit ist U eine Untergruppe von G. Stimmt das so?
Du hast, wie Fred schon sagte, nichts bzgl. der Aufgabe gezeigt. (Die Folgerung [mm] $xy^{-.1} \in [/mm] U$ ist zwar war, ergibt sich aber nicht aus dem vorhergehenden!)
Was Du zeigen sollst, steht in Freds Antwort. Ein kleiner Tipp dazu:
Zeige zunächst
$$y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow y^{-1} \in U\,.$$
[/mm]
Das ist eigentlich fast trivial, denn es ergibt sich aus $y [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] G$ und der Gleichung
$$y*b=b*y [mm] \;\;\;\forall [/mm] b [mm] \in [/mm] G$$
sehr schnell. (Multipliziere einmal [mm] $y^{-1}$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung von links und einmal von rechts. Gemeint ist dabei die Multiplikation in [mm] $G\,.$ [/mm] Und eine banale Anmerkung: Glücklicherweise ist [mm] $=\,$ [/mm] symmetrisch, d.h. $a=b [mm] \gdw b=a\,.$)
[/mm]
Edit: Wegen den Untergruppenkriterien ist man eigentlich schon fertig, wenn man $y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow y^{-1} \in [/mm] U$ gezeigt hat. Ist mir aber erst im Nachhinein aufgefallen. Dieses "Hilfsmittel" braucht man also nicht, es wird eher die eigentlich zu zeigende Behauptung "verschleiern" und man hätte quasi "doppelt" gerechnet, um zu zeigen, dass hier wirklich eine Untergruppe vorliegt.
Gruß,
Marcel
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