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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | | Sei [mm] \pi: \IZ\to [/mm] G ein Epimorphismus. Warum ist dann [mm] \pi^{-1}(H) [/mm] eine Untergruppe von [mm] \IZ, [/mm] wenn H eine Untergruppe von G ist ? |
Hallo,
ich kann mir diesen Teil eines Beweises nicht erklären. Könnte mir da jemand weiterhelfen ?
Danke !
VG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 18.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Fry,
> Sei [mm]\pi: \IZ\to[/mm] G ein Epimorphismus. Warum ist dann
> [mm]\pi^{-1}(H)[/mm] eine Untergruppe von [mm]\IZ,[/mm] wenn H eine
> Untergruppe von G ist ?
versuch doch mal den Beweis:
Zu zeigen ist
1. Abgeschlossenheit von [mm]\pi^{-1}(H)[/mm]
2. Zu jedem $x [mm] \in \pi^{-1}(H)$ [/mm] ist auch [mm] $x^{-1} \in \pi^{-1}(H)$.
[/mm]
Anfang:
Seien $a, b [mm] \in \pi^{-1}(H)$. [/mm] Dann sind [mm] $\pi(a), \pi(b) \in [/mm] H$ und daher auch [mm] $\pi(a \circ [/mm] b) = [mm] \pi(a) \circ \pi(b) \in [/mm] H$...
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo Will,
vielen Dank für deine Antwort !
Also ich habs mal so probiert:
Abgeschlossenheit:
[mm] a,b\in \pi^{-1}(H)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pi(a),\pi(b)\in [/mm] H
[mm] \Rightarrow \pi(ab)\in [/mm] H, da pi Gruppenhomom. bzw. H Untergruppe
[mm] \Rightarrow ab\in \pi^{-1}(H), [/mm] da [mm] \pi [/mm] surjektiv
Abgeschlossenheit bzgl. "Inversenbildung":
[mm] a\in \pi^{-1}(H)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pi(a)\in [/mm] H
[mm] \Rightarrow (\pi(a))^{-1} \in [/mm] H, da H Untergruppe
[mm] \Rightarrow \pi(a^{-1})\in [/mm] H, da [mm] \pi [/mm] Gruppenhomom.
[mm] \Rightarrow a^{-1}\in \pi^{-1}(H), [/mm] da [mm] \pi [/mm] surjektiv
Stimmt das so ?
Gruß =)
Fry
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Hallo.
> Also ich habs mal so probiert:
> Abgeschlossenheit:
> [mm]a,b\in \pi^{-1}(H)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pi(a),\pi(b)\in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow \pi(ab)\in[/mm] H, da pi Gruppenhomom. bzw. H
> Untergruppe
> [mm]\Rightarrow ab\in \pi^{-1}(H),[/mm] da [mm]\pi[/mm] surjektiv
Richtig soweit, aber Du brauchst die Surjektivität von [mm] $\pi$ [/mm] gar nicht. [mm] $ab\in\pi^{-1}(H)$ [/mm] ist nämlich äquivalent zu [mm] $\pi(ab)\in [/mm] H$, ganz gleich, ob [mm] $\pi$ [/mm] surjektiv ist oder nicht.
> Abgeschlossenheit bzgl. "Inversenbildung":
>
> [mm]a\in \pi^{-1}(H)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pi(a)\in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow (\pi(a))^{-1} \in[/mm] H, da H Untergruppe
> [mm]\Rightarrow \pi(a^{-1})\in[/mm] H, da [mm]\pi[/mm] Gruppenhomom.
> [mm]\Rightarrow a^{-1}\in \pi^{-1}(H),[/mm] da [mm]\pi[/mm] surjektiv
>
> Stimmt das so ?
Stimmt so, aber die Surjektivität wird hier wieder nicht benötigt.
Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Dank dir !
LG
Fry
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