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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe, N [mm] \subset [/mm] G ein Normalteiler und H eine Untergruppe von G. Zeige, dass die Menge NH = {nh | n [mm] \in [/mm] N, h [mm] \in [/mm] H} eine Untergruppe von G ist. |
Hallo,
eigentlich hört sich die Aufgabe ganz einfach an. Ich hab sie auch versucht zu lösen, komm aber an einer Stelle nicht weiter und hoffe, dass mir da jemand weiterhelfen kann.
Zunächst habe ich gezeigt, dass das neutrale Element in NH ist.
Da H eine Untergruppe ist, ist [mm] e_{H} \in [/mm] H [mm] \subset [/mm] G. Da N Normalteiler ist, also insbesondere Untergruppe, ist [mm] e_{N} \in [/mm] N [mm] \subset [/mm] G, also [mm] e_{N}* e_{H} [/mm] = [mm] e_{NH} \in [/mm] NH [mm] \subset [/mm] G.
Richtig so?
Also ist NH [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass für alle a,b [mm] \in [/mm] NH, [mm] a*b^{-1} \in [/mm] NH.
Sei a [mm] \in [/mm] NH, also nh = a und b [mm] \in [/mm] NH, also n'h' = b.
Dann: [mm] ab^{-1} [/mm] = [mm] nh(n'h')^{-1} [/mm] = nh h'^{-1} n'^{-1}
Wie folgt nun, dass dies [mm] \in [/mm] NH ist? Das was da steht, ist [mm] \in [/mm] NHN.
Oder bin ich grad auf einem Holzweg?
Vielen Dank für jede Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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Du musst irgendwo noch die Normalteilereigenschaft einbauen (alle h mit Index sind aus H, alle n mit Index aus N):
[mm]ab^{-1}[/mm] = [mm]nh(n'h')^{-1}[/mm] = nh h'^{-1} n'^{-1}
= [mm]nh h'^{-1} n'^{-1} e [/mm]
= [mm]nh h'^{-1} n'^{-1} h'h'^{-1}[/mm]
= [mm]nh (h'^{-1} n'^{-1} h')h'^{-1}[/mm]
= [mm]nh n_1 h'^{-1} [/mm] (da [mm]n'^{-1}[/mm] aus N, gibt es so ein [mm] n_1)
[/mm]
= [mm]nh n_1 e h'^{-1}[/mm]
= [mm]nh n_1 h^{-1}h h'^{-1}[/mm]
= [mm]n[h n_1 h^{-1}] h h'^{-1}[/mm]
= [mm]n n_2 h h'^{-1} [/mm] (da [mm] n_1 [/mm] aus N, gibt es so ein [mm] n_2)
[/mm]
= [mm](n n_2) ( h h'^{-1})[/mm]
= [mm]n_3 h_3, [/mm] da N und H Gruppen
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