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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge der Punkte einer Geraden von [mm]\IR[/mm]^2 genau dann eine Untergruppe dieser Gruppe bildet, wenn die Gerade durch den Ursprung (0,0) verläuft. |
Hallo erstmal...
In der Aufgabe geht es um die Gruppe ([mm]\IR[/mm]^2,+).
Ich weiß, dass (0,0) neutrales Element und (-x, -y) inverses Element ist. Die Geradengleichung lautet: g=[mm]\{[/mm](x,y) [mm]\in[/mm] [mm]\IR[/mm]^2 I ax +by+c=0[mm]\}[/mm]. Nun soll ich zeigen, dass P1 und P2 auf g liegen und auch die inversen Elemente auf g liegen.
Wie mache ich das??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die Menge der Punkte einer Geraden von
> [mm] \IR^2 [/mm] genau dann eine Untergruppe dieser Gruppe bildet, wenn die Gerade durch den Ursprung (0,0) verläuft.
"In der Aufgabe geht es um die Gruppe [mm] (\IR^2,+).
[/mm]
Ich weiß, dass (0,0) neutrales Element und (-x, -y) inverses Element ist. Die Geradengleichung lautet: [mm] g=\{(x,y) \in \IR^2 I ax +by+c=0\}. [/mm] Nun soll ich zeigen, dass P1 und P2 auf g liegen und auch die inversen Elemente auf g liegen.
Wie mache ich das??"
Hallo,
Man betrachtet also eine Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] eine Gerade [mm] g=\{(x,y) \in \IR^2 I ax +by+c=0\}.
[/mm]
Daß [mm] (\IR^2,+) [/mm] eine Gruppe ist, ist bereits bekannt.
Die Aufgabe ist nun, zu zeigen, daß genau die Geraden, welche durch den Nullpunkt gehen, eine Untergruppe des [mm] (\IR^2,+) [/mm] bilden.
Etwas anders formuliert:
Sei [mm] g:=\{(x,y) \in \IR^2 I ax +by+c=0, a\not=0 oder b\not=0\}.
[/mm]
Es ist g Untergruppe des [mm] \IR^2 [/mm] <==> c=0
"==>"
Bedenke, daß, wenn g Untergruppe ist, das neutrale Element [mm] \vektor{0 \\ 0}\in [/mm] g, woraus Du sofort die Behauptung erhältst.
"<=="
Hier ist die Behauptung, daß [mm] g:=\{(x,y)\in \IR^2 I ax +by=0, a\not=0 oder b\not=0\} [/mm] eine Untergruppe ist.
Hierfür mußt Du zeigen:
1. g ist nichtleer
2. Für [mm] \vektor{s \\ t},\vektor{u \\ v}\in [/mm] g gilt [mm] \vektor{s \\ t}+\vektor{u \\ v}\in [/mm] g.
(Zeigen tust Du das durch Einsetzen in ax +by)
3. Für [mm] \vektor{s \\ t}\in [/mm] g liegt auch das Inverse in g. (Wieder durch Einsetzen in die Geradengleichung.)
Gruß v. Angela
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