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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 08.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo alle zusammen!
ich soll folgende aufgabe lösen:
eine nicht leere teilmenge U einer Gruppe (G, [mm] \circ) [/mm] heißt untergruppe, wenn für alle a,b [mm] \in [/mm] U auch a [mm] \circ [/mm] b und [mm] a^{-1} [/mm] elemente von U sind. ich soll nun beweisen, dass das neutrale element von G zu jeder untergruppe gehört.
hier nun meine lösung:
Sei U [mm] \subset [/mm] G
U ist Untergruppe, wenn:U [mm] \not= \emptyset, [/mm]
[mm] a,b\in [/mm] U und [mm] a^{-1} \in [/mm] U
a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U
1. verknüpfung auf U assoziativ, da sie schon auf G assoziativ ist
2. wegen U [mm] \not= \emptyset [/mm] folgt, dass U mindestens ein element a enthält, also a [mm] \in [/mm] U
3. wegen [mm] a,b\in [/mm] U und [mm] a^{-1} \in [/mm] U ist auch inverses element von a [mm] \in [/mm] U
4. aus a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U ergibt sich a* [mm] a^{-1}=e [/mm] (e= neutrales element) muss auch in U liegen
d.h. neutrales element von G liegt auch in U und ist auch in U neutrales element
q.e.d.
ist das so korrekt?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Mi 09.11.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Franzie!
> ich soll folgende aufgabe lösen:
> eine nicht leere teilmenge U einer Gruppe (G, [mm]\circ)[/mm] heißt
> untergruppe, wenn für alle a,b [mm]\in[/mm] U auch a [mm]\circ[/mm] b und
> [mm]a^{-1}[/mm] elemente von U sind. ich soll nun beweisen, dass das
> neutrale element von G zu jeder untergruppe gehört.
> hier nun meine lösung:
>
> Sei U [mm]\subset[/mm] G
> U ist Untergruppe, wenn:U [mm]\not= \emptyset,[/mm]
> [mm]a,b\in[/mm] U und [mm]a^{-1} \in[/mm] U
> a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U
> 1. verknüpfung auf U assoziativ, da sie schon auf G
> assoziativ ist
> 2. wegen U [mm]\not= \emptyset[/mm] folgt, dass U mindestens ein
> element a enthält, also a [mm]\in[/mm] U
> 3. wegen [mm]a,b\in[/mm] U und [mm]a^{-1} \in[/mm] U ist auch inverses
> element von a [mm]\in[/mm] U
> 4. aus a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U ergibt sich a* [mm]a^{-1}=e[/mm] (e=
> neutrales element) muss auch in U liegen
> d.h. neutrales element von G liegt auch in U und ist auch
> in U neutrales element
> q.e.d.
Das ist alles korrekt, aber 1. brauchst du hier doch gar nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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