Untergitter < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Tine90 |
| Aufgabe | [mm] \paragraph*{Satz 4.5.1:} [/mm] Seien [mm] $\Lambda\subseteq\Gamma$ [/mm] Gitter im [mm] $\mathbb{R}^n$. [/mm] Dann ist
[mm] \frac{d(\Lambda)}{d(\Gamma)}=: D\in\mathbb{N}
[/mm]
und das Gitter [mm] $D\Gamma=\{Da|a\in\Gamma\}$ [/mm] erfüllt [mm] $D\Gamma\subseteq\Lambda\subseteq\Gamma$.\\
[/mm]
[mm] \textbf{Beweis:} [/mm] Sei [mm] $B=(b_1,\dots,b_n)$ [/mm] eine Basis von [mm] $\Lambda$ [/mm] und [mm] $A=(a_1,\dots,a_n)$ [/mm] eine Basis von [mm] $\Gamma$. [/mm] Dann existiert eine ganzzahlige [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix V mit $B=AV$. V erfüllt offensichtlich $D=|det(V)|$, weil [mm] $D=\frac{vol(\Phi_\Lambda)}{vol(\Phi_\Gamma)}$ [/mm] und das ergibt das Volumen des Gitters, das durch V aufgespannt wird. Die Restklassen von [mm] $\Gamma [/mm] ~mod~ [mm] \Lambda$ [/mm] werden zum Beispiel durch jene Gitterpunkte von [mm] $\Gamma$ [/mm] repräsentiert, die in einer Grundmasche [mm] $\Phi_\Lambda$ [/mm] von [mm] $\Lambda$ [/mm] liegen und man kann theoretisch durch einen Vergleich mit dem Volumen von [mm] $\Phi_\Gamma$ [/mm] bereits jetzt sehen, dass die Anzahl [mm] $[\Gamma [/mm] : [mm] \Lambda]$ [/mm] dieser Repräsentanten der Restklassen genau D ist. DA ist also die Basis von [mm] $D\Gamma$ [/mm] und nach der Cramerschen Regel (vgl. Satz 3.5) hat die Matrix [mm] $DV^{-1}$ [/mm] ebenfalls ganzzahlige Koeffizienten. Dann folgt aus [mm] $DA=B\cdot DV^{-1}$, [/mm] dass DL ein Untergitter von [mm] $\Lambda$ [/mm] ist. [mm] \qed [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo =)
Ich habe hier einen Beweis über Untergitter, den ich nciht wirklich verstehe und wäre für jeden Tipp dankbar. Also ich hab verstanden, dass man das Volumen von [mm] $\Lambda$ [/mm] durch das Volumen von [mm] $\Gamma$ [/mm] teilt und dass das Volumen von [mm] $\Lambda$ [/mm] größer ist als das Volumen von [mm] $\Gamma$. [/mm] Ich verstehe aber vor allem die Umformung am Schluss nicht...
Lg =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Di 14.05.2013 | | Autor: | hippias |
> [mm]\paragraph*{Satz 4.5.1:}[/mm] Seien [mm]\Lambda\subseteq\Gamma[/mm]
> Gitter im [mm]\mathbb{R}^n[/mm]. Dann ist
>
> [mm] \frac{d(\Lambda)}{d(\Gamma)}=: D\in\mathbb{N}[/mm]
>
> und das Gitter [mm]D\Gamma=\{Da|a\in\Gamma\}[/mm] erfüllt
> [mm]D\Gamma\subseteq\Lambda\subseteq\Gamma[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> [mm]\textbf{Beweis:}[/mm] Sei [mm]B=(b_1,\dots,b_n)[/mm] eine Basis von
> [mm]\Lambda[/mm] und [mm]A=(a_1,\dots,a_n)[/mm] eine Basis von [mm]\Gamma[/mm]. Dann
> existiert eine ganzzahlige [mm]n\times n[/mm]-Matrix V mit [mm]B=AV[/mm]. V
> erfüllt offensichtlich [mm]D=|det(V)|[/mm], weil
> [mm]D=\frac{vol(\Phi_\Lambda)}{vol(\Phi_\Gamma)}[/mm] und das ergibt
> das Volumen des Gitters, das durch V aufgespannt wird. Die
> Restklassen von [mm]\Gamma ~mod~ \Lambda[/mm] werden zum Beispiel
> durch jene Gitterpunkte von [mm]\Gamma[/mm] repräsentiert, die in
> einer Grundmasche [mm]\Phi_\Lambda[/mm] von [mm]\Lambda[/mm] liegen und man
> kann theoretisch durch einen Vergleich mit dem Volumen von
> [mm]\Phi_\Gamma[/mm] bereits jetzt sehen, dass die Anzahl [mm][\Gamma : \Lambda][/mm]
> dieser Repräsentanten der Restklassen genau D ist. DA ist
> also die Basis von [mm]D\Gamma[/mm] und nach der Cramerschen Regel
> (vgl. Satz 3.5) hat die Matrix [mm]DV^{-1}[/mm] ebenfalls
> ganzzahlige Koeffizienten. Dann folgt aus [mm]DA=B\cdot DV^{-1}[/mm],
> dass DL ein Untergitter von [mm]\Lambda[/mm] ist. [mm]\qed[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo =)
> Ich habe hier einen Beweis über Untergitter, den ich
> nciht wirklich verstehe und wäre für jeden Tipp dankbar.
> Also ich hab verstanden, dass man das Volumen von [mm]\Lambda[/mm]
> durch das Volumen von [mm]\Gamma[/mm] teilt und dass das Volumen von
> [mm]\Lambda[/mm] größer ist als das Volumen von [mm]\Gamma[/mm]. Ich
> verstehe aber vor allem die Umformung am Schluss nicht...
> Lg =)
Du solltest etwas praeziser fragen! Auf jeden Fall solltest Du Dir die Eigenschaften der Adjunkten (=transponierte Kofaktormatrix) einer Matrix anschauen, denn damit geht es ganz einfach: Ist naemlich $V'$ die Adjunkte zu $V$, so gilt naemlich $VV'= det(V) E$, $E$ Einheitsmatrix. Damit ist $BV'= AVV'= AD$, und danach Definition $V'$ wieder ganzzahlig ist,folgt damit, dass die Vektoren $AD$ ganzzahlige Linearkombination der Vektoren $B$ sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 26.05.2013 | | Autor: | Tine90 |
Ok, aber in meinem Beweis geht es doch um die Inverse Matrix [mm] V^{-1} [/mm] oder? Ich verstehe nicht, warum wir [mm] DV^{-1} [/mm] brauchen und wie man auf [mm] DA=BDV^{-1} [/mm] kommt oder was die Gleichung aussagt...Könntest du mir da noch einmal weiterhelfen?
Liebe Grüße,
Tine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 27.05.2013 | | Autor: | hippias |
Wie bereits erwaehnt: Ist $V'$ die Adjunkte zu $V$,so ist ganz allgemein $V'V= VV'= DE$, $E$ Einheitsmatrix. Dann folgt doch [mm] $V^{-1}= D^{-1}V'$, [/mm] weshalb das [mm] $DV^{-1}$, [/mm] das in Deinem Beweis benutzt wird, nichts anderes als meine Adjunkte $V'$ ist, die nach Definition ganzzahlig ist, weil $V$ ganzzahlig ist.
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