Untere Schranke für Wahrschein < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mi 16.02.2011 | | Autor: | BettiBoo |
Hallo,
ich brauche ganz dringend eure Hilfe.
Da ich morgen Klausur schreibe (ich weiß das fällt mir früh ein), habe ich mich gestern und heute nochmal dazu entschlossen alle Aufgaben durchzurechnen. Leider fehlen mir bei der einen oder anderen Aufgabe die Lösung. Bei einer Aufgabe komme ich ganz besonders nicht klar und zwar:
In einem Land werden jährlich durchschnittlich [mm] 10^6 [/mm] Kinder geboren, wobei die Geburt eines Knaben mit der Wahrscheinlichkeit [mm] p\in [/mm] ]0,1[ eintritt.
Man gebe eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die relative Häufigkeit einer Knabengeburt nach einem Beobachtungszeitraum von 10 Jahren höchstens um 10^(-3) von p=1/2 abweicht.
Man hat mir gesagt, ich soll wie folgt vorgehen:
P(|h-p| [mm] \le [/mm] c [mm] *\wurzel{p(1-p)/n)} \approx [/mm] 2 [mm] \Phi(c)-1 [/mm]
Damit beantwortet sich die Frage, indem man aus
c * [mm] \wurzel{p(1-p)/n} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
den Wert c bestimmt und die Sicherheitswahrscheinlichkeit 2 [mm] \Phi(c)-1 [/mm] berechnet.
Wie aber rechne ich die relative Häufigkeit aus? Woher kommt der Wert [mm] \wurzel{p(1-p)/n)}?
[/mm]
Wie gehe ich weiterhin vor? Ich brauch diese Aufgabe dringend. Und habe genau Null Ahnung.......
Viele Grüße
Betti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:45 Do 17.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi BettiBoo,
sei X: Anzahl der Knaben bei n Geburten. X ist binomialverteilt mit [mm] n=10*10^6 [/mm] und p unbekannt.
Sag mal, du suchst doch nur ne untere Schranke, da tut's doch die ![[]](/images/popup.gif) Ungleichung von Tschebyscheff
[mm] P(|X-\mu|<\epsilon)\ge 1-\bruch{\sigma^2}{\epsilon^2}
[/mm]
Das musst du nur umformen [mm] (\mu=n*p):
[/mm]
[mm] P(|X-\mu|<\epsilon)=P(|\bruch{X-\mu}{n}|<\bruch{\epsilon}{n})=P(|\bruch{X}{n}-p<\bruch{\epsilon}{n})
[/mm]
Du müsstest natürlich wissen, dass X/n grade die relative Häufigkeit für X Knaben, bei n Geburten ist. Also das ,von dem du die Abweichung suchst. Das musst du nicht extra ausrechnen. Also
[mm] P(|\bruch{X}{n}-p|<\bruch{\epsilon}{n})\ge1-\bruch{\sigma^2}{\epsilon^2}
[/mm]
Und [mm] \bruch{\epsilon}{n}=0,001 [/mm] und [mm] \sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}. [/mm] p=1/2 und n=10 Jahre mal [mm] 10^6=10^7. [/mm] Ich komme grade von einer Party und bin etwas betrunken, aber das scheint mir so Sinn zu machen. Viel Erfolg für deine Klausur.
Das, was dir geraten wurde, beruht darauf, dass eine [mm] B_{n;p} [/mm] (binomialverteilte ZV mit Parametern n und p) Zufallsvariable,wenn man sie standardisiert, also [mm] \bruch{X-\mu}{\sigma}, [/mm] sie nährungsweise standardnormalverteilt ist. Dann kann man W'keiten mit der Verteilungsfunktion [mm] \Phi [/mm] der Stdnormlvertl ausrechnen(nährungsweise). Aber du suchst ja nur ne untere Schranke. Da denke ich immer an Tschebyscheff.
Lg walde
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