Unterbestimmtes Lin. Gls. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mi 29.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
| Aufgabe | | [mm]
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 5 & 4 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 3 & 3
\end{matrix}
[/mm] |
Ich habe dieses lineare Gleichungssystem gelöst, als Lösung bekam ich
x1= -1,5x4+0,5
x2= 3x4-1
x3= -5/2x4+3/2
x4= x4
Man soll aber eine einzige Mögliche Lösung herausbekommen, obwohl das Gleichungssystem unterbestimmt ist. Wie komme ich zu dieser hat jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mi 29.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Nun muss jeder, der Dir antworten will, erst einmal selbst rechnen, da Du Deinen REchenweg nicht angegeben hast.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 29.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 5 & 4 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 3 & 3
\end{matrix}
[/mm]
>
> Ich habe dieses lineare Gleichungssystem gelöst, als
> Lösung bekam ich
> x1= -1,5x4+0,5
> x2= 3x4-1
> x3= -5/2x4+3/2
> x4= x4
>
> Man soll aber eine einzige Mögliche Lösung
> herausbekommen,
Das ist Unfug. Du hast völlig richtig gerechnet.
FRED
> obwohl das Gleichungssystem unterbestimmt
> ist. Wie komme ich zu dieser hat jemand eine Idee?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 29.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Also es muss rauskommen:
a=0
b=0
c=2/3
d=1/3
Was vielleicht noch erwähnt werden sollte a,b,c und d sind minimal 0 und höchstens 1.
Laut Lösung gibt es nur diese eine Kombination. Thema ist konvexe Linearkombination.
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Hallo gsmv4,
gib doch bitte in Zukunft die vollständige Aufgabenstellung und Deinen Rechenweg an. Dann bekommst Du hier sicher mehr Hilfe, und auch schneller.
> Also es muss rauskommen:
>
> a=0
> b=0
> c=2/3
> d=1/3
>
> Was vielleicht noch erwähnt werden sollte a,b,c und d sind
> minimal 0 und höchstens 1.
Das sollte unbedingt erwähnt werden!
> Laut Lösung gibt es nur diese eine Kombination. Thema ist
> konvexe Linearkombination.
Dann forme doch mit dieser Zusatzinformation mal Deine Gleichungen für [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] in entsprechende Ungleichungsketten um, dann siehst Du mit Sicherheit viel klarer.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mi 29.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Vielen Dank für die bisherige Hilfe!
Mit Ungleichungsketten habe ich leider noch nie gerechnet, geschweige denn weiß ich was das ist...
könnte mir jemand zeigen wie das geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 29.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die bisherige Hilfe!
>
> Mit Ungleichungsketten habe ich leider noch nie gerechnet,
> geschweige denn weiß ich was das ist...
das ist die Ausnutzung der Transitivität des [mm] $<\,$ [/mm] (und [mm] $=\,$):
[/mm]
$a [mm] \le [/mm] b$ und $b < [mm] c\,$ [/mm]
kannst Du schreiben als
$a [mm] \le [/mm] b < [mm] c\,.$
[/mm]
> könnte mir jemand zeigen wie das geht?
Ich wiederhole mal das meiner Meinung nach Wichtigste, was reverend
gesagt hat:
Bitte liefere mal eine vollständige Aufgabenstellung. Fred ging bei seiner
Antwort davon aus, dass es keinerlei Zusatzbeschränkungen an die Variablen
[mm] $x_1,...,x_4$ [/mm] gebe. Dann redest Du plötzlich von Konvexkombinationen, das sind
Linearkombinationen der Art
[mm] $\sum_{k=1}^n \lambda_k \textbf{r}_k$
[/mm]
mit $0 [mm] \le \lambda_k \le [/mm] 1$ (es reicht auch $0 [mm] \le \lambda_k$ [/mm] wegen der folgenden Bedingung für die Summe)
für alle [mm] $k\,$ [/mm] so, dass zudem [mm] $\sum_{k=1}^n \lambda_k=1\,.$
[/mm]
(Die letzte Bedingung findet man in Zeile 1 bei Deinem GLS wieder - zudem
wäre es besser, dabei den *Ergebnisvektor* zu kennzeichnen, also vor der
letzten Spalte ein | zu setzen, bspw. so:
$ [mm] \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 &| 1 \\ 4 & 5 & 4 & 1 &| 3 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & |3 \end{matrix} [/mm] $
Aber das ist hier nicht wirklich wesentlich...)
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Linearkombination#Konvexkombination
Bei Dir heißen die Skalare dann [mm] $x_k\,.$
[/mm]
Du hast also ein unterbestimmtes GLS mit Nebenbedingungen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mi 29.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
| Aufgabe | | Die Vektor d = (3, 3)' liegt in der konvexen Hülle der Vektoren a = (4, 1)', b = (5, 2)', c = (4, 3)' und d = (1, 3)'. Wie lassen sie sich als konvexe Linearkombination von a bis d darstellen? Hinweis: Lösen sie das sich ergebende lineare Gleichungssystem. |
So sieht die gesamte Aufgabenstellung aus, ich hoffe das hilft weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mi 29.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Sollst Du einen bestimmten Lösungsweg gehen, oder kommt es nur darauf an, das Du eine Lösung findest?
Ich habe mir das zuerst in ein Koordinatensystem gezeichnet und gesehen, dass (3/3) auf der Kante zwischen c und d (den hast Du zweimal vergeben) liegt. Also ergibt sich die Konvexkombination aus diesen beiden Vektoren, die anderen beiden Koeffizienten sind NUll.
> Ich habe dieses lineare Gleichungssystem gelöst, als Lösung bekam ich
> x1= -1,5x4+0,5
> x2= 3x4-1
> x3= -5/2x4+3/2
Aus x1= -1,5x4+0,5 folgt $0 [mm] \le x_4 \le \br{1}{3}$
[/mm]
Aus x2= 3x4-1 folgt [mm] $\br{1}{3} \le x_4 \le \br{2}{3}$
[/mm]
Dadurch ist [mm] $x_4 [/mm] = [mm] \br{1}{3}$ [/mm] festgelegt und alle anderen Koeffizienten auch.
Das ist natürlich keine Lösung, in der ein Algorithmus abgearbeitet wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Do 30.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Vielen Dank, das ist plausibel!
Wie könnte man diese Aufgabe mit einem standardisierten Algorithmus lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Do 30.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Davon habe ich keine Ahnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Do 30.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Gibt es ein Programm welches solche Gleichungen lösen kann und die Umformungen dokumentiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es ein Programm welches solche Gleichungen lösen kann
> und die Umformungen dokumentiert?
Davon habe ich keine Ahnung.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 So 03.05.2015 | | Autor: | M.Rex |
> Gibt es ein Programm welches solche Gleichungen lösen kann
> und die Umformungen dokumentiert?
Evtl die Seite von Arndt brünner
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 So 03.05.2015 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank, das ist plausibel!
>
> Wie könnte man diese Aufgabe mit einem standardisierten
> Algorithmus lösen?
Leider gar nicht, bei Bedingungen/Forderungen, die auf Ungleichungen hinauslaufen, greift der  Gauß-Algorithmus nicht.
Setzt du bei unterbestimmten linearen Gleichungssystemen die entsprechndne Anzahl Parameter, kannst du dann aber wieder den Algorithmus nutzen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Vielen Dank, das ist plausibel!
> >
> > Wie könnte man diese Aufgabe mit einem
> standardisierten
> > Algorithmus lösen?
>
> Leider gar nicht, bei Bedingungen/Forderungen, die auf
> Ungleichungen hinauslaufen, greift der
> Gauß-Algorithmus nicht.
> Setzt du bei unterbestimmten linearen Gleichungssystemen
> die entsprechndne Anzahl Parameter, kannst du dann aber
> wieder den Algorithmus nutzen.
Du meinst damit *Schlupfvariablen*, oder? So kenne ich das jedenfalls aus
Operations Research. Daher auch der Hinweis, mal in entsprechende
Literatur zu gucken!
Gruß,
Marcel
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