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| Aufgabe | Gegeben:
Unterbestimmtes LGS Ax = b mit A [mm] \in \IR^{(m,n)}, [/mm] m < n, Rang(A) = m, b [mm] \in \IR^m
[/mm]
Zu zeigen:
(1) Lösungsraum ist gegeben durch x = [mm] A^{T}(AA^{T})^{-1}b+(I-A^{T}(AA^{T})^{-1}A)y [/mm] mit y [mm] \in \IR^n
[/mm]
(2) x' = [mm] A^{T}(AA^{T})^{-1}b [/mm] ist normminimale Lösung des LGS |
Hi,
ich brauche leider bei diesen Aufgaben Hilfe!
Meine Überlegungen:
(1) Ich habe schon geprüft, dass x = ... Lösung der Gleichung Ax = b ist. Nun muss ich noch zeigen, dass [mm] Rang(I-A^{T}(AA^{T})^{-1}A) [/mm] = n-m ist und das mithilfe der QR-Zerlegung. Wie zeige ich das?
(2) Sei x' = [mm] A^{T}(AA^{T})^{-1}b [/mm] und z = [mm] (I-A^{T}(AA^{T})^{-1}A)y. [/mm] Dann gilt: ||x' +z||² = ||x'||² + [mm] 2(x')^{T}z [/mm] + ||z||². Ich soll dann zeigen, dass [mm] (x')^{T}z [/mm] = 0. Wieso hilft mir diese Gleichung weiter und wie zeigt man das?
Ich danke Euch sehr! 
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 03.01.2011 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Bei der zweiten Aufgabe kannst du dir ja ein Optimierungsproblem aufstellen:
[mm] J(y):=\bruch{1}{2}\|A^T(AA^T)^{-1}b+(I-A^T(AA^T)^{-1}A)y\|^2\rightarrow\min! [/mm] bei [mm] y\in\IR^n.
[/mm]
Jetzt kannst du die Zielfunktion mit dem Hinweis vereinfachen.
Dann musst du das Optimum berechnen, also [mm] $\bruch{\partial J}{\partial y}(y)=0$ [/mm] und dann solltest du auf y=0 (Nullvektor) kommen.
Das sieht aber nach einem elenden Gefriemel aus. Wenn du Glück hast findest du geeignete Umformungen damit deine Gleichungen nicht zu lang werden.
Zu 1) bin ich überfragt. Wozu brauchst du den Rang?
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Danke für die Hinweise.
(1) Ich vermute, dass das etwas mit der Eindeutigkeit zutun hat. Die Existenz ist ja leichter gezeigt. Weiß jemand Rat?
(2) Das scheint mir auch ziemlich komplex zu sein. Sieht jemand noch einen einfacheren Weg?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 06.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Di 04.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Sabine,
> Gegeben:
> Unterbestimmtes LGS Ax = b mit A [mm]\in \IR^{(m,n)},[/mm] m < n,
> Rang(A) = m, b [mm]\in \IR^m[/mm]
>
> Zu zeigen:
> (1) Lösungsraum ist gegeben durch x =
> [mm]A^{T}(AA^{T})^{-1}b+(I-A^{T}(AA^{T})^{-1}A)y[/mm] mit y [mm]\in \IR^n[/mm]
>
> (2) x' = [mm]A^{T}(AA^{T})^{-1}b[/mm] ist normminimale Lösung des
> LGS
> Hi,
>
> ich brauche leider bei diesen Aufgaben Hilfe!
>
> Meine Überlegungen:
>
> (1) Ich habe schon geprüft, dass x = ... Lösung der
> Gleichung Ax = b ist. Nun muss ich noch zeigen, dass
> [mm]Rang(I-A^{T}(AA^{T})^{-1}A)[/mm] = n-m ist und das mithilfe der
> QR-Zerlegung. Wie zeige ich das?
>
> (2) Sei x' = [mm]A^{T}(AA^{T})^{-1}b[/mm] und z =
> [mm](I-A^{T}(AA^{T})^{-1}A)y.[/mm] Dann gilt: ||x' +z||² = ||x'||²
> + [mm]2(x')^{T}z[/mm] + ||z||². Ich soll dann zeigen, dass
> [mm](x')^{T}z[/mm] = 0. Wieso hilft mir diese Gleichung weiter und
> wie zeigt man das?
Das ist schon ein guter Ansatz.
(2) x' = [mm]A^{T}(AA^{T})^{-1}b[/mm] ist normminimale Lösung des LGS
bedeutet ja
(2a) ||x'|| [mm] $\le$ [/mm] ||x' +z||.
Mit den richtigen Abschätzungen für die Summanden der rechten Seite
der Gleichung ||x' +z||² = ||x'||² + [mm]2(x')^{T}z[/mm] + ||z||² und
eventuell der Dreiecksungleichung lässt sich (2a) zeigen.
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> Ich danke Euch sehr!
>
> Gruß
> Sabine
Gruß
meili
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