Unter(vektor)raum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mo 03.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sind die folgenden Mengen reeller Polynome Unterräume von [mm] \IR[x]?
[/mm]
a) die geraden Polynome: p(x)=p(-x)
b) die ungeraden Polynome: p(-x)=-p(x)
c) die Polynome, deren zweite Ableitung null ist
d) W:={p [mm] \in \IR[x] [/mm] : [mm] p''(x)-xp'(x)=x^{2}p(x)}
[/mm]
e) [mm] Z_{a}={p \in \IR[x] : p(1) = a}, [/mm] wobei a [mm] \in \IR. [/mm] |
Zunächst einmal muss ich die Bedingungen für einen Untervektorraum und danch die Voraussetzungen (U0,U1,U2) für einen Untervektorraum überprüfen.
An a) und b) habe ich mich schon gesetzt und festgestellt, dass a) mich an achsensymmetrische Funktionen mit geraden Polynomen erinnern wie [mm] x^{2k} [/mm] mit k [mm] \in \IN [/mm] und bei b) mich an punktsymmetrische Funktionen wie [mm] x^{2k+1} [/mm] mit k in [mm] \IN. [/mm] Aber Funktionen haben wir bisher noch nicht gehabt. Aber der Gedanke hat mir geholfen mir die Aufgabenstellung aus a) und b) zu verbildlichen.
bei c) stelle ich mir eine Funktion wie p(x) = ax vor, wo p'(x) = a und p''(x)=0 lautet. Wie bringt mich dies weiter?
Wie genau kann ich die Bedingungen und die Voraussetzungen überprüfen? Soll ich mir erstmal Beispiele überlegen?
mfg,
zjay
|
|
| |
|
Hallo zjay,
> Sind die folgenden Mengen reeller Polynome Unterräume von
> [mm]\IR[x]?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> a) die geraden Polynome: p(x)=p(-x)
> b) die ungeraden Polynome: p(-x)=-p(x)
> c) die Polynome, deren zweite Ableitung null ist
> d) W:={p [mm]\in \IR[x][/mm] : [mm]p''(x)-xp'(x)=x^{2}p(x)}[/mm]
> e) [mm]Z_{a}={p \in \IR[x] : p(1) = a},[/mm] wobei a [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Zunächst einmal muss ich die Bedingungen für einen
> Untervektorraum und danch die Voraussetzungen (U0,U1,U2)
> für einen Untervektorraum überprüfen.
>
> An a) und b) habe ich mich schon gesetzt und festgestellt,
> dass a) mich an achsensymmetrische Funktionen mit geraden
> Polynomen erinnern wie [mm]x^{2k}[/mm] mit k [mm]\in \IN[/mm] und bei b) mich
> an punktsymmetrische Funktionen wie [mm]x^{2k+1}[/mm] mit k in [mm]\IN.[/mm]
> Aber Funktionen haben wir bisher noch nicht gehabt. Aber
> der Gedanke hat mir geholfen mir die Aufgabenstellung aus
> a) und b) zu verbildlichen.
Ja, gerade Polynome haben die Eigenschaft, dass alle Koeffizienten von x'en mit ungerader Potenz stets 0 sind.
Also etwa [mm]p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\ldots+a_2x^2+a_0x^0[/mm]
Bei ungeraden umgekehrt ...
>
> bei c) stelle ich mir eine Funktion wie p(x) = ax vor, wo
> p'(x) = a und p''(x)=0 lautet. Wie bringt mich dies
> weiter?
Das ist schon mal gut, aber allgemeiner sehen die Polynome in c so aus:
[mm]p(x)=ax+b[/mm]
>
> Wie genau kann ich die Bedingungen und die Voraussetzungen
> überprüfen? Soll ich mir erstmal Beispiele überlegen?
Na, es muss immer der Nullvektor in einem (Unter-)Vektorraum sein.
Das solltest du zuallererst prüfen ...
Ist das Nullpolynom jeweils in den einzelnen Mengen enthalten?
Dann die anderen Eigenschaften:
Ist die Summe zweier Elemente wieder drin?
Ist mit einem Polynom aus einer Menge auch ein bel. reelles Vielfaches wieder in der Menge?
>
> mfg,
>
> zjay
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 03.12.2012 | | Autor: | zjay |
> > a) die geraden Polynome: p(x)=p(-x)
> > b) die ungeraden Polynome: p(-x)=-p(x)
> > c) die Polynome, deren zweite Ableitung null ist
Okay, ich nehme
[mm] a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\ldots+a_2x^2+a_0x^0, [/mm] schreibe das als Vektor auf und addiere den Nullvektor [mm] 0_{v}:
[/mm]
[mm] \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}= \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}
[/mm]
Habe ich mit dieser simplen Rechnung für a) die Existenz des Nullvektors gezeigt?
Für b) ließe sich analog dasselbe machen.
> Das ist schon mal gut, aber allgemeiner sehen die Polynome
> in c so aus:
>
> [mm]p(x)=ax+b[/mm]
Kann ich hier dann den Nullvektor zeigen, indem ich zeige, dass
a * [mm] \vektor{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}} [/mm] + b + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots\ \\ 0} [/mm] = a * [mm] \vektor{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}} [/mm] + b
>
> >
> > Wie genau kann ich die Bedingungen und die Voraussetzungen
> > überprüfen? Soll ich mir erstmal Beispiele überlegen?
>
> Na, es muss immer der Nullvektor in einem
> (Unter-)Vektorraum sein.
>
> Das solltest du zuallererst prüfen ...
>
> Ist das Nullpolynom jeweils in den einzelnen Mengen
> enthalten?
Wenn das Nullpolynom in der Menge [mm] \IR[x] [/mm] enthalten ist, ist die erste Bedingung (U0) erfüllt, dass (U0) [mm] \not= [/mm] {} ist.
>
> Dann die anderen Eigenschaften:
>
> Ist die Summe zweier Elemente wieder drin?
zu a)
Kann ich um dies zu zeigen p(x) + p(-x) = [mm] 0_{v} [/mm] rechnen? Aus der Aufgabenstellung p(x)=p(-x) folgt p(x)-p(-x)=0. Der Nullvektor als neutrales Element ist vorhin als Element dieser Gruppe gezeigt worden. Daraus folgt, dass die Summe/Differenz zweier Vektoren ebenfalls Element der Gruppe ist:
[mm] \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0} [/mm] - [mm] \vektor{a_{2n}(-x)^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}(-x)^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2(-x)^2 \\ a_0(-x)^0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}
[/mm]
[mm] (-x)^{2n}, ...,(-x)^{2}=x^{2n},...,x^{2}
[/mm]
eigentlich ist das logisch, aber ich schreibe das sicherheitshalber nochmal auf.
> Ist mit einem Polynom aus einer Menge auch ein bel. reelles
> Vielfaches wieder in der Menge?
>
Wie kann ich denn zeigen, dass für [mm] \lambda \in \IK [/mm] (K-Vektorraum) gilt:
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}= \vektor{\lambda*a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ \lambda*a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ \lambda*a_2x^2 \\ \lambda*a_0x^0} [/mm]
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 03.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du musst überprüfen ob die Simme zweier geraden Polynome [mm] p_1(x)=p_1(-x) [/mm] und [mm] p_2(x)=p_2(-x) [/mm] woeder ein gerades Pölynom ist. was du gezeigt hast ist, dass es zu p(x) ein Inverses -p(x) gibt.
entsprechend mit den anderen mengen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 03.12.2012 | | Autor: | zjay |
Soo, den Teil, zu dem du mir tipps gegeben hast leduart, habe ich korrigiert. Der Rest der Fragen ist aber nach wie vor noch offen.
> Okay, ich nehme
>
[mm] a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\ldots+a_2x^2+a_0x^0
[/mm]
schreibe das als Vektor auf und addiere den Nullvektor
[mm] \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}
[/mm]
[mm] +\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}= \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}
[/mm]
> Habe ich mit dieser simplen Rechnung für a) die Existenz
> des Nullvektors gezeigt?
> Für b) ließe sich analog dasselbe machen.
>
> > Das ist schon mal gut, aber allgemeiner sehen die Polynome
> > in c so aus:
> >
> > [mm]p(x)=ax+b[/mm]
>
> Kann ich hier dann den Nullvektor zeigen, indem ich zeige,
> dass
>
a * [mm]\vektor{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}}[/mm] + b + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \vdots\ \\ 0}[/mm]
= a * [mm]\vektor{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}}[/mm] + b
> Wenn das Nullpolynom in der Menge [mm]\IR[x][/mm] enthalten ist,
> ist die erste Bedingung (U0) erfüllt, dass (U0) [mm]\not=[/mm] {}
> ist.
>
> >
> > Dann die anderen Eigenschaften:
> >
> > Ist die Summe zweier Elemente wieder drin?
>
> zu a)
>
Okay, dann würde ich jetzt [mm] p_{1}(x) +p_{2}(x) [/mm] addieren:
[mm] p_{1}(x) +p_{2}(x)= \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ 0 \\ a_0x^0} [/mm] + [mm] \vektor{b_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ b_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ b_2x^2 \\ 0 \\ b_0x^0} [/mm] = [mm] \vektor{x^{2n}(a_{2n}+b_{2n}) \\ 0 \\ x^{2n-2}(a_{2n-2}+b_{2n-2}) \\ 0 \\ \vdots \\ x^{2}(2_{2}+b_{2}) \\ 0 \\ x^{0}(a_{0}+b_{0})}
[/mm]
> > Ist mit einem Polynom aus einer Menge auch ein bel. reelles
> > Vielfaches wieder in der Menge?
> >
>
> Wie kann ich denn zeigen, dass für [mm]\lambda \in \IK[/mm]
> (K-Vektorraum) gilt:
>
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}= \vektor{\lambda*a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ \lambda*a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ \lambda*a_2x^2 \\ \lambda*a_0x^0}[/mm]
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 03.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du machst das viel zu umständlich, vorallem musst du die polynome nicht immer als Komponentenvektoren schreiben.
in der Basis [mm] 1,x^2,x^4,....x^{2n} [/mm] würde der Vektor
wenn, dann so aussehen:
[mm] \vektor{a_0\\ a_2\\...\\a_{2n}}
[/mm]
aber das is völlig überflussig ihn si hinzuschreiben. für die geraden Pllynome hast du
[mm] p(x)=\summe_{i=0}^{n}a_{2i} x^{2i}
[/mm]
[mm] q(x)==\summe_{i=0}^{n}b_{2i} x^{2i}, a_i,b_i \in [/mm] K
[mm] \lambda_1*p(x)+\lambda_2*q=\summe_{i=}^{n}(\lambda_1*a_{2i}+\lambda_2*b_{2i})*x^{2i} [/mm] wieder ein gerades pPolynom, da
[mm] c_{2i}=(\lambda_1*a_{2i}+\lambda_2*b_{2i})\in [/mm] K
damit hast du alles auf einmal und bist fertig.
Geh in den anderen Gällen entsprechend vor.
Dass die p Vektoren sind, hast du damit gezeigt, dazu muss man sie nicht in der komponentenschreibweise audschreiben.
jetzt ist die Darstellung auch Basisunabhängig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 04.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sind die folgenden Mengen reeller Polynome Unterräume von [mm] \IR[x]? [/mm]
a) die geraden Polynome: p(x)=p(-x)
b) die ungeraden Polynome: p(-x)=-p(x)
c) die Polynome, deren zweite Ableitung null ist |
a)
so, jetzt nochmal alles zu a) zusammengetragen:
[mm] a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\ldots+a_2x^2+a_0x^0, [/mm] schreibe das als Vektor auf und addiere den Nullvektor [mm] 0_{v}: [/mm]
[mm] \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}= \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}
[/mm]
[mm] p(x)=\summe_{i=0}^{n}a_{2i} x^{2i} [/mm]
[mm] q(x)=\summe_{i=0}^{n}b_{2i} x^{2i}, a_i,b_i \in [/mm] K
p(x)+q(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_{2i} x^{2i}+ \summe_{i=0}^{n}b_{2i} x^{2i}= \summe_{i=0}^{n}((a_{2i} +b_{2i}) x^{2i}).
[/mm]
die Summe von p(x) und q(x) ist auch ein gerades Polynom, das Element von [mm] \IR[x] [/mm] ist.
[mm] \lambda_1*p(x)+\lambda_2*q=\summe_{i=}^{n}(\lambda_1*a_{2i}+\lambda_2*b_{2i})*x^{2i} [/mm] wieder ein gerades Polynom, da
[mm] c_{2i}=(\lambda_1*a_{2i}+\lambda_2*b_{2i})\in [/mm] K
Die Bedingungen sind alle erfüllt, weshalb die Mengen der geraden Polynome: p(x)=p(-x) ein Unterraum von [mm] \IR[x] [/mm] ist.
bei b) bin ich analog vorgegangen und kam auch wieder zu dem Schluss, dass es ein Unterraum ist.
Ist das alles so sauber erläutert? Und muss ich noch auf die Bedingungen eingehen?
zu c)
p(x)=ax+c, p'(x)=a, p''(x)=0
analog für q(x)=bx+c
Existenz des Nullvektors [mm] 0_{v} [/mm] und Axiom (U0):
[mm] \summe_{i=0}^{n}ax_{i}+0_{v}=\summe_{i=0}^{n}ax_{i}
[/mm]
Axiom (U1) Abgeschlossenheit unter der Addition:
[mm] \summe_{i=0}^{n}ax_{i}+\summe_{i=0}^{n}bx_{i}=\summe_{i=0}^{n}
[/mm]
[mm] ((a+b)x_{i}) [/mm] ist wieder ein Polynom, deren zweite Ableitung null ist, weswegen es Element der Menge [mm] \IR[x] [/mm] ist.
Axiom (U2) Abgeschlossenheit unter der Multiplikation von Skalaren:
[mm] \lambda_{1} p(x)+\lambda_{2} [/mm] q(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n}(x_{i}(\lambda_{1}a+\lambda_{2}b))
[/mm]
Dieses Axiom ist erfüllt, da [mm] (x_{i}(\lambda_{1}a+\lambda_{2}b)) [/mm] wieder ein Polynom ist, deren zweite Ableitung null ist.
Da alle Axiome erfüllt sind, handelt es sich bei c) um einen Unterraum.
Ist es auch hier nicht notwending auf die Bedingungen einzugehen?
Seltsam finde ich auch, dass bisher alle a),b),c) Unterräume sind. Ich schaue mir erstmal d) und e) an.
Ich hoffe auf eure Meinungen,
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 04.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | d) W:={p [mm] \in \IR[x]: p''(x)-xp'(x)=x^{2}p(x)}
[/mm]
e) [mm] Z_{a}= [/mm] {p [mm] \in \IR[x]: [/mm] p(1) =a}, wobei a [mm] \in \IR. [/mm] |
weitere Frage zu d) und e):
d)
Ist es bei d) sinnvoll nach p(x) umzustellen) [mm] p(x)=\bruch{p''(x)-xp'(x)}{x^{2}}
[/mm]
und bei e) denke ich, dass das auf keinen Fall ein Unterraum ist ...
da gibt es ja eigentlich nur p(1)=a mit a [mm] \in \IR. [/mm] Mehr ist da ja nicht gegeben, weder Nullelement, noch kann ich da addieren oder multiplizieren, oder?
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> d) W:={p [mm]\in \IR[x]: p''(x)-xp'(x)=x^{2}p(x)}[/mm]
> e) [mm]Z_{a}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{p
> [mm]\in \IR[x]:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
p(1) =a}, wobei a [mm]\in \IR.[/mm]
>
>
> weitere Frage zu d) und e):
>
> d)
>
> Ist es bei d) sinnvoll nach p(x) umzustellen)
> [mm]p(x)=\bruch{p''(x)-xp'(x)}{x^{2}}[/mm]
nein.
Fragen:
1. Gehört das Nullpolynom zu W ?
2. Sind p,q [mm] \in [/mm] W und f:=p+q, gilt dann
f''(x)-xf'(x)=x^2f(x) ?
3. Ist p [mm] \in [/mm] W und a [mm] \in \IR [/mm] und setzt man f:= [mm] \alpha [/mm] p, gilt dann
f''(x)-xf'(x)=x^2f(x) ?
Ich verrate Dir was: alle 3 Fragen können mit "ja" beantwortet werden ! Zeige das !
Denn dann kannst Du sicher sein, dass W ein Untervektorraum ist.
>
> und bei e) denke ich, dass das auf keinen Fall ein
> Unterraum ist ...
Na, na, Vorsicht.
>
> da gibt es ja eigentlich nur p(1)=a mit a [mm]\in \IR.[/mm] Mehr ist
> da ja nicht gegeben, weder Nullelement, noch kann ich da
> addieren oder multiplizieren, oder?
Du hast nicht verstanden, was [mm] Z_a [/mm] ist.
Die Menge [mm] Z_a [/mm] besteht aus allen Polynomen p, die an der Stelle x=1 den Funktionswert a haben, also p(1)=a.
Ich verrate Dir noch etwas:
Für a= 0 ist [mm] Z_a [/mm] ein Untervektorraum. Für a [mm] \ne [/mm] 0 ist das nicht der Fall.
Zeige auch das !
FRED, der Verräter.
>
> mfg,
>
> zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Di 04.12.2012 | | Autor: | zjay |
Okay, ich schaue mir mal die Hinweise zu d) und e) an.
Könnte jemand die Aufgaben a) bis c) anschauen, damit ich weiß, ob ich das bisher richtig gemacht habe?
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Di 04.12.2012 | | Autor: | zjay |
> Fragen>
> 1. Gehört das Nullpolynom zu W ?
>
> 2. Sind p,q [mm]\in[/mm] W und f:=p+q, gilt dann
>
> f''(x)-xf'(x)=x^2f(x) ?
>
> 3. Ist p [mm]\in[/mm] W und a [mm]\in \IR[/mm] und setzt man f:= [mm]\alpha[/mm] p,
> gilt dann
>
> f''(x)-xf'(x)=x^2f(x) ?
>
> Ich verrate Dir was: alle 3 Fragen können mit "ja"
> beantwortet werden ! Zeige das !
>
> Denn dann kannst Du sicher sein, dass W ein Untervektorraum
> ist.
zu d) hätte ich einige Fragen:
Wie zeige ich die Existenz eines Nullvektors [mm] 0_{v} [/mm] ?
p(x) + [mm] 0_{v}= [/mm] p(x) reicht vermutlich nicht, oder?
und reicht es bei zweitens einfach für f immer (p+q) einzusetzen und zu sagen, dass bei
[mm] (p+q)''(x)-x(p+q)'(x)=x^{2}(p+q) [/mm]
p und q [mm] \in \IW [/mm] sind und deswegen die Summe immer noch in [mm] \IW [/mm] ist? Wie sonst kann ich mit der zweiten Ableitung und der ersten Ableitung rechnen?
zu e)
Achso. Also gilt
p(1)=a, q(1)=a
p(1)+q(1)=2a
hier treffen wir eine Fallunterscheidung:
für a=0 gilt
p(1)+q(1)=2a=2*0=0
Damit ist das Nullelement enthalten und die Abgeschlossenheit unter der Addition wurde gezeigt.
Für die Multiplikation von Skalaren gilt:
[mm] \lambda \in \IK
[/mm]
[mm] \lambda*p(1)=\lambda*a=\lambda*0=0
[/mm]
Der Nullvektor ist Element dieser Gruppe, woraus folgt, dass auch das dritte Kriterium erfüllt ist.
bei e) handelt es sich bei a=0 um eine Untergruppe.
für a [mm] \not= [/mm] 0 gilt
p(1)+q(1)=2a
Das Nullelement ist in dieser Gruppe nicht enthalten, woraus folgt, dass es sich nicht um eine Untergruppe handeln kann.
Stimmt dies so? Und könnt ihr mir bei meinen Fragen zu a,b,c (siehe oberere unbeantwortete Frage) und d (hochscrollen, anfang dieses posts) weiterhelfen?
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 04.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum 0 Vektor bei d)
[mm] p_0(x)=0 [/mm] =>p'_0(x)=0 p''_0(x)=0
[mm] 0+x*0=x^2*0 [/mm] ist erfüllt also liegt 0 im UV$
2, wenn [mm] p''-x*p'=x^2*p [/mm] und
[mm] q''-x*q=x^2*q
[/mm]
dann folgt durch Addition der 2 Gl dass auch p+q sie erfüllt
ebenso für [mm] \lambda*p [/mm] durch Einsetzen in die Gl nachweisen, das es in UVR liegt.
zu e)
1. Existenz von 0 Element [mm] p_0=0 [/mm] ist ungleich a für [mm] a\ne0
[/mm]
damit kann p(1)=a für [mm] a\ne1 [/mm] keinen UVR bilden
du sprichst plötzlich von Gruppen statt Vektorraum?
dann der Bachweis, dass die Polynome mit p(1)=0 auch p+q und [mm] \lambda*p [/mm] wieder p(1)=0 gilt.
Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 05.12.2012 | | Autor: | zjay |
zunächst einmal danke.
ich wusste nicht wie ich den Nullvektor andern darstellen konnte, weswegen ich die falsche Schreibweise gewählt hatte.
zu d) hätte ich aber 2 Fragen, da mich die Ableitungen nachwievor stören:
wenn ich die beiden Gleichungen addiere, lässt man bei p(x) das (x) kollektiv weg?
ich nehme
[mm] p''-xp'=x^{2}p
[/mm]
[mm] q''-xq'=x^{2}q
[/mm]
und addiere beide Gleichungen
ich erhalte dann [mm] p''+q''-xp'-xq'=x^{2}p+x^{2}q
[/mm]
da ich mir jetzt unsicher bin, wie ich beim umformen weiter vorzugehen habe um zu zeigen dass die Gleichung Element der Menge ist, habe ich etwas gemacht, was für mich eigentlich sinnlos erscheint:
[mm] p''-xp'=x^{2}p [/mm] => [mm] p''=x^{2}p+xp'
[/mm]
[mm] q''-xq'=x^{2}q [/mm] => [mm] q''=x^{2}q+xq'
[/mm]
beides habe ich dann erneut in die Gleichung eingesetzt und dann logischerweise [mm] x^{2}p+xp'+x^{2}q+xq'-xp'-xq'=x^{2}p+x^{2}q \gdw [/mm] 0=0 erhalten.
reicht es bei der Multiplikation einfach:
[mm] \lambda*p''-xp'*\lambda=x^{2}p*\lambda
[/mm]
[mm] \gdw \lambda*(p''-xp')=\lambda(x^{2}p)
[/mm]
und da [mm] p''-xp'=x^{2}p [/mm] gilt, gilt folgich auch das lambdafache davon: [mm] \lambda*(p''-xp')=\lambda(x^{2}p)
[/mm]
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> zunächst einmal danke.
>
> ich wusste nicht wie ich den Nullvektor andern darstellen
> konnte, weswegen ich die falsche Schreibweise gewählt
> hatte.
>
> zu d) hätte ich aber 2 Fragen, da mich die Ableitungen
> nachwievor stören:
>
> wenn ich die beiden Gleichungen addiere, lässt man bei
> p(x) das (x) kollektiv weg?
Dir scheint nicht klar zu sein, wie man zwei Funktionen addiert?!
Schlage mal nach, wie [mm]p+q[/mm] (oder allg. die Summe zweier Funktionen [mm]f+g[/mm]) definiert ist.
>
> ich nehme
> [mm]p''-xp'=x^{2}p[/mm]
> [mm]q''-xq'=x^{2}q[/mm]
>
> und addiere beide Gleichungen
>
> ich erhalte dann [mm]p''+q''-xp'-xq'=x^{2}p+x^{2}q[/mm]
Kennst du Ableitungsregeln?
Obiges kannst du wegen der Additivität der Ableitung - was ist das? -
umformen zu
[mm](p+q)''-x(p+q)'=x^2(p+q)[/mm]
Also?
> da ich mir jetzt unsicher bin, wie ich beim umformen weiter
> vorzugehen habe um zu zeigen dass die Gleichung Element der
> Menge ist, habe ich etwas gemacht, was für mich eigentlich
> sinnlos erscheint:
>
> [mm]p''-xp'=x^{2}p[/mm] => [mm]p''=x^{2}p+xp'[/mm]
> [mm]q''-xq'=x^{2}q[/mm] => [mm]q''=x^{2}q+xq'[/mm]
>
> beides habe ich dann erneut in die Gleichung eingesetzt und
> dann logischerweise
> [mm]x^{2}p+xp'+x^{2}q+xq'-xp'-xq'=x^{2}p+x^{2}q \gdw[/mm] 0=0
> erhalten.
>
> reicht es bei der Multiplikation einfach:
>
> [mm]\lambda*p''-xp'*\lambda=x^{2}p*\lambda[/mm]
Nein, genauer! Und wieder die Ableitungsregeln beachten:
Es ist hier die Funktion [mm]\lambda\cdot{}p[/mm]
Also musst du zeigen, dass [mm](\lambda p)''-x(\lambda p)'=x^2(\lambda p)[/mm] gilt.
Mache das mal und sage, welche Ableitungsregel du verwendest
> [mm]\gdw \lambda*(p''-xp')=\lambda(x^{2}p)[/mm]
Das kommt nachher raus, musst du aber von meinem Ansatz aus gut begründen!
>
> und da [mm]p''-xp'=x^{2}p[/mm] gilt, gilt folgich auch das
> lambdafache davon: [mm]\lambda*(p''-xp')=\lambda(x^{2}p)[/mm]
>
> mfg,
>
> zjay
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mi 05.12.2012 | | Autor: | zjay |
Ich schaue mir jetzt mal genauer an was du geschrieben hast,
aber zu meiner Verteidigung:
Nein, Ableitungen kenne ich bisher nur von der Schule. In den Vorlesungen haben wir als derzeitiges Thema Vektorräume und Unterräume von K-Vektorräumen. Der Zettel, den ich zurzeit bearbeite, baut demnach auf die Vorlesungen zu den Vektorräumen auf, wo es jedoch keine Erläuterungen zu Ableitungen gibt.
Das ist im Übrigen auch der Grund, warum Komillitionen von mir sich teilweise gar nicht an Aufgabe d) herangetraut hatten.
In Analysis nähern wir uns allmählich dem Thema Funktionen, haben jetzt aber nach Abschluss des Themas Folgen und Reihen erst die Stetigkeit von Funktionen durchgenommen.
Deinen hilfreichen Verweis die Thematik selber zu recherchieren habe ich leider überlesen.
Ich melde mich nochmal, wenn ich deine Erläuterungen ausführlich gelesen habe.
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ja Schulwissen darfst du ja im Allgemeinen benutzen.
Wenn du eine Funktion f hast und ein [mm]\lambda\in\IR[/mm], dann ist doch
[mm]((\lambda\cdot{}f)(x))'=(\lambda\cdot{}f(x))'=\lambda\cdot{}f'(x)[/mm]
Und Funktionen [mm]f,g:X\to Y[/mm] sind gleich, also [mm]f=g[/mm], falls [mm]f(x)=g(x)[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm]
Wenn du also zeigen willst, dass [mm](\lambda p)'=\lambda p'[/mm], musst du zeigen, dass für alle [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm]((\lambda p)(x))'=\lambda p'(x)[/mm]
Und [mm]f+g[/mm] ist definiert durch [mm](f+g)(x):=f(x)+g(x)[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm]
Also punktweise ...
Ebenso die Multiplikation [mm]fg[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mi 05.12.2012 | | Autor: | zjay |
Also bei der Addition habe ich nicht mehr viel gemacht:
aus [mm] p''+q''+x(p'+q')=x^{2}(p+q)
[/mm]
[mm] \gdw (p+q)''-x(p+q)'=x^{2}(p+q)
[/mm]
Da W:={p [mm] \in \IR[x]: p''(x)-xp'(x)=x^{2}p(x)} [/mm] und V:={q [mm] \in \IR[x]: q''(x)-xq'(x)=x^{2}q(x)} [/mm] gilt, gilt auch (W+V):={(p+q) [mm] \in \IR[x]: (p+q)''(x)-x(p+q)'(x)=x^{2}(p+q)(x)}.
[/mm]
Damit ist (U1, Abgeschlossenheit unter der Addition) gezeigt.
an der Multiplikation knobel ich später noch ein wenig rum. Jetzt gerade komme ich da nicht weiter.
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 04.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sind die folgenden Mengen reeller Polynome Unterräume von
> [mm]\IR[x]?[/mm]
>
> a) die geraden Polynome: p(x)=p(-x)
> b) die ungeraden Polynome: p(-x)=-p(x)
> c) die Polynome, deren zweite Ableitung null ist
>
>
>
> a)
>
> so, jetzt nochmal alles zu a) zusammengetragen:
>
> [mm]a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\ldots+a_2x^2+a_0x^0,[/mm]
> schreibe das als Vektor auf und addiere den Nullvektor
> [mm]0_{v}:[/mm]
>
> [mm]\vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}= \vektor{a_{2n}x^{2n} \\ 0 \\ a_{2n-2}x^{2n-2} \\ 0 \\ \vdots \\ a_2x^2 \\ a_0x^0}[/mm]
das ist erstens eine falsche Schreibweise für den "Vektor" p(x), zweitens sinnlos.
(nur wenn man eine Basis angibt, kann man einen Vektor durch Komponenten angeben, das hab ich schon im vorigen post geschrieben
Du musst doch nur sagen [mm] p_0(x)=0 [/mm] ist eine gerades (und ein ungerades) Polynom. also liegt der 0 Vektor in der Menge, und er ist 0 Vektor, weil für alls Polynome gilt p(x)+0=p(x)
Der Rest ist richtig.
Gruss leduart
|
|
|
|
