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Unter-und Obersummen: Grenzwertbildung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 So 03.09.2006
Autor: Russelvi

Hallo, leute. Ich hab ein Problem, könnt ihr mir helfen?
In der Schule haben wir mit der Funktion f(x)=x² gearbeitet.  Die Formel für die Untersumme U(n)= 1/n³ * 1/6*(n-1)n(2n-1). Dies haben wir ausgeklammert, dabei kam raus [mm] $\bruch{1}{6}*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}*\bruch{2n-1}{n}=\bruch{1}{6}*(1-\bruch{1}{n})*1*(2-\bruch{1}{n})= \bruch{1}{6}*2$ [/mm] Wegen [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{1}{n}} [/mm] = 0 bekomme ich das ergebnis:1/3. Und wenn ich statt 1, b einsetze, bekomme ich diese Formel= [mm] U(n)=b/n\summe_{k=0}^{n-1}(k*b/n)². [/mm] Diese forel geht aber nur für f(x)=x², wie bekomme ich die formel für andere funktionen,z.B. für f(x) = x+1.
Ich bitte euch mir zu helfen.

Danke
[edit]die vielen Terme lassen sich besser lesen, wenn du unseren Formeleditor benutzt. Klick mal auf eine der von mir veränderten Formeln, dann kannst du sehen, wie ich es geschrieben habe.[informix]
        
Bezug
Unter-und Obersummen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 So 03.09.2006
Autor: leduart

Hallo Russel
                [willkommenmr]

Zeichne erst mal die Funktion auf. Dann mal die Untersumme ein. Du unterteilst das Stück bis b in n Teile. (für die Zeichnung reichen 5 oder 6.
Dann fängst du an : Alle Rechtecke haben eine Seite b/n, das kann man also ausklammern, die 2. Seit ist nach einander 1+b/n,  1+2b/n; 1+3b/n; ........1+(n-1)b/n
Alle Rechtecke addiert: b/n*(1+b/n + 1+2b/n + 1+3b/n +.......+1+(n-1)b/n)
Die Klammer gibt (n*1+b/n(0+1+2+3+....+n-1)
Also insgesamt Un=b/n [mm] *n+b^{2}/n^{2}*(0+1+2+3+....+n-1) [/mm]
Und die Summe in der Klammer habt ihr sicher schon mal gehabt.
Gruss leduart
Bezug
        
Bezug
Unter-und Obersummen: so geht's
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Mo 04.09.2006
Autor: informix

Hallo Russel,
> Hallo, leute. Ich hab ein Problem, könnt ihr mir helfen?
>  In der Schule haben wir mit der Funktion f(x)=x²
> gearbeitet.  Die Formel für die Untersumme U(n)= 1/n³ *
> 1/6*(n-1)n(2n-1). Dies haben wir ausgeklammert, dabei kam
> raus
> [mm]\bruch{1}{6}*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}*\bruch{2n-1}{n}=\bruch{1}{6}*(1-\bruch{1}{n})*1*(2-\bruch{1}{n})= \bruch{1}{6}*2[/mm]
> Wegen [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{1}{n}}[/mm] = 0
> bekomme ich das ergebnis:1/3. Und wenn ich statt 1, b
> einsetze, bekomme ich diese Formel=
> [mm]U(n)=b/n\summe_{k=0}^{n-1}(k*b/n)².[/mm] Diese forel geht aber
> nur für f(x)=x², wie bekomme ich die formel für andere
> funktionen,z.B. für f(x) = x+1.

In dieser Formel erkennst du den Term von [mm] f(x)=x^2: [/mm]
[mm]U(n)=b/n\summe_{k=0}^{n-1}\underbrace{(k*b/n)^2}_{f(x)}.[/mm]
Folglich setzt du jetzt den anderen Term in die Klammer:
[mm]U(n)=\bruch{b}{n}\summe_{k=0}^{n-1}\underbrace{(k*b/n + 1)}_{f(x)}= \bruch{b}{n}[\summe_{k=0}^{n-1}k*\bruch{b}{n}] + \bruch{b}{n}* n * 1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


(Anwendung des MBAssoziativgesetzes und des MBKommutativgesetzes der Addition).
$=\bruch{b}{n}*\bruch{b}{n}*[\summe_{k=0}^{n-1}k] + b = (\bruch{b}{n})^2 * \bruch{(n-1)*n}{2} + b = b^2}\bruch{1}{2} * \bruch{(n-1)*n}{n*n} + b = \bruch{b^2}{2} * \bruch{1-\bruch{1}{n}}{1}+b$
Damit ergibt sich:
$\limes_{n \rightarrow\infty}{U(n)} = \bruch{b^2}{2} +b$
Fertig!

Jetzt klar(er)?

[guckstduhier] MBFlächenbestimmung

Gruß informix

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