Unten geschl. Zylinder+H.kugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 So 26.09.2010 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | Ein Deoroller besteht aus einem unten geschlossenen Zylinder mit oben angestzter Halbkugel. Der Rauminhalt V des Deo-Rollers soll bei vorgegebenem Oberflächeninhalt A(O) ein Maximum annehmen! Der Radius der Kugel sei r, die Höhe des Zylinders wird mit h bezeichnet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hab alles hinbekommen, nur die Randwertuntersuchung passt bei mir nicht. Bei [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] komt auch 0 raus, aber bei [mm] \limes_{x\rightarrow\wurzel{\bruch{A(O)}{5\pi}}}, [/mm] was die andere Randbedingung ist, kommt bei mir nicht Null raus!
[mm] V=\bruch{A(O)r}{2}-\bruch{5\pi r^3}{6}
[/mm]
[mm] 0
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 26.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ein Deoroller besteht aus einem unten geschlossenen
> Zylinder mit oben angestzter Halbkugel. Der Rauminhalt V
> des Deo-Rollers soll bei vorgegebenem Oberflächeninhalt
> A(O) ein Maximum annehmen! Der Radius der Kugel sei r, die
> Höhe des Zylinders wird mit h bezeichnet.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich hab alles hinbekommen, nur die Randwertuntersuchung
> passt bei mir nicht. Bei [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] komt auch
> 0 raus, aber bei
> [mm]\limes_{x\rightarrow\wurzel{\bruch{A(O)}{5\pi}}},[/mm] was die
> andere Randbedingung ist, kommt bei mir nicht Null raus!
Halo,
da müssen wir mal schauen:
[mm] A_O=\pi*r^2+2\pi*rh+2\pi*r^2
[/mm]
Das lässt sich nach der Höhe umstellen:
[mm] h=\bruch{A_O-3\pi*r^2}{2\pi*r}.
[/mm]
Für das Volumen gilt
[mm] V=\pi*r^2*h+\bruch{2\pi*r^3}{3}
[/mm]
Durch Ersetzen von h durch obigen Term wird daraus
[mm] V=\bruch{r*A_O-3\pi*r^3}{2}+\bruch{2\pi*r^3}{3},
[/mm]
und daraus folgt deine Volumenformel.
Moment mal: im Extremfall "Zylinderanteil ist flach wie eine Flunder" KANN das Volumen doch gar nicht Null werden. Dann besteht das Volumen immer noch aus der (maximal großen) Halbkugel.
Gruß Abakus
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> [mm]V=\bruch{A(O)r}{2}-\bruch{5\pi r^3}{6}[/mm]
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> [mm]0
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> LG
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